Resolva as questões a seguir:
\int x \cdot \ln (x+1) \cdot d x (integração por partes)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int x \ln(x+1)\,dx
usando o método de integração por partes, que é indicado quando temos o produto de duas funções que podemos separar em u e dv, visando simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x+1), \quad dv = x\,dx.
Dessa forma,
du = \frac{1}{x+1}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
obtemos
\int x \ln(x+1)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x+1) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 4

No segundo termo, fatoramos 1/2 e fazemos divisão de polinômios:
\int \frac{x^2}{2(x+1)}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x+1}\,dx, \quad \frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}.
Logo,
\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\int\Bigl(x - 1 + \frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int\Bigl(x - 1 + \frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1).
Substituindo,
\int x \ln(x+1)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x+1) - \frac{1}{2}\Bigl(\frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1)\Bigr) + C.
Simplificando,
= \frac{x^2}{2}\ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\ln(x+1) + C.

Resposta

\boxed{\int x \ln(x+1)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\ln(x+1) + C.}

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