Resolva, em R, as inequaçōes:
(6 x-1)(2 x+7)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em ℝ a inequação (6x−1)(2x+7)>0. O conteúdo aqui é inequação polinomial de primeiro grau com produto de fatores. Para resolver, vamos usar a ideia de encontrar as raízes de cada fator e depois fazer análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, identificamos as raízes dos fatores separadamente. Para 6x−1=0 temos x= 16. Para 2x+7=0 temos x= -72. Essas raízes dividem a reta em três intervalos.

Passo 3

A teoria diz que um produto de dois fatores é positivo quando ambos os fatores têm o mesmo sinal (os dois positivos ou os dois negativos). Então, vamos testar cada intervalo:
Intervalo x<− 72:
  • 6x−1 é negativo (pois x é muito pequeno),
  • 2x+7 é negativo.
    Produto: negativo·negativo=positivo → satisfaz a inequação.
Intervalo − 72<x< 16:
  • 6x−1 é negativo (até x=1/6 ainda não zera),
  • 2x+7 é positivo (já passou de −7/2).
    Produto: negativo·positivo=negativo → não satisfaz.
Intervalo x> 16:
  • 6x−1 é positivo,
  • 2x+7 é positivo.
    Produto: positivo·positivo=positivo → satisfaz.

Passo 4

Juntando os intervalos onde o produto é positivo, a solução da inequação é o conjunto de x tais que x<− 72 ou x> 16.

Resposta

(-infty, -tfrac72) cup (tfrac16, +infty)

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