Use a definição de limite para provar:
lim x 2(3 x-2)=4

Passo 1

O enunciado pede para provar que limx 2(3x-2)=4 usando a definição de limite (épsilon-delta), ou seja, mostrar que para todo epsilon>0 existe de0 tal que se 0<|x-2| então |(3x-2)-4|.

Passo 2

Aplicando a definição, começamos assumindo um epsilon>0 arbitrário e precisamos encontrar um de0 que dependa de epsilon.
Analisamos a diferença entre a função e o limite: |(3x-2)-4| = |3x-6| = 3|x-2|. Este passo usa propriedades de valor absoluto e operações algébricas simples.
Para garantir que |(3x-2)-4|, basta ter 3|x-2|, o que equivale a |x-2|.

Passo 3

Logo, fazemos a escolha de. Assim, sempre que 0<|x-2|, temos |(3x-2)-4|, completando a prova segundo a definição de limite.

Resposta

Para todo epsilon>0, escolhendo de, obtemos 0<|x-2|. Logo limx 2(3x-2)=4.

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