Use a definição de limite para provar:
Passo 1
O enunciado pede para provar que
usando a definição de limite (épsilon-delta), ou seja, mostrar que para todo
existe
tal que se
então
.
Passo 2
Aplicando a definição, começamos assumindo um
arbitrário e precisamos encontrar um
que dependa de
.
Analisamos a diferença entre a função e o limite: . Este passo usa propriedades de valor absoluto e operações algébricas simples.
Para garantir que , basta ter
, o que equivale a
.
Analisamos a diferença entre a função e o limite:
Para garantir que
Passo 3
Logo, fazemos a escolha
. Assim, sempre que
, temos
, completando a prova segundo a definição de limite.
Resposta
Para todo
, escolhendo
, obtemos
. Logo
.