Resolva em R as seguintes condições:
\log _{(x-1)} 3 x=1

Passo 1

Resumindo: queremos resolver em \mathbb{R} a equação
\log_{(x-1)}\bigl(3x\bigr)=1.
O conteúdo envolve função logarítmica de base variável; para resolver, vamos primeiro achar o domínio e depois converter para a forma exponencial.

Passo 2

Determinar o domínio de definição:
  1. Argumento positivo:
3x>0\quad\Longrightarrow\quad x>0.
  1. Base positiva e diferente de 1:
x-1>0\quad\Longrightarrow\quad x>1,
x-1\neq1\quad\Longrightarrow\quad x\neq2.
Combinando, o domínio é
x>1\quad\text{e}\quad x\neq2.

Passo 3

Converter a equação logarítmica em exponencial usando a definição \log_b(a)=c\iff b^c=a:
\log_{(x-1)}\bigl(3x\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^1 = 3x.

Passo 4

Resolver a equação obtida:
x-1 = 3x \quad\Longrightarrow\quad -2x = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac12.

Passo 5

Verificar no domínio: precisamos de x>1, mas -\tfrac12 não satisfaz essa condição. Logo a solução encontrada é extrangeŕea ao domínio.

Resposta

A equação não possui solução real.

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