Resolva em R as seguintes condições:
4^{x}-9 \cdot 2^{x}+8=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0.
O conteúdo aqui é equação exponencial e vamos usar a ideia de transformar em uma equação quadrática por meio da substituição 2^{x}=t.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = 2^{x},
sabendo que t>0, temos
4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x} = (2^{x})^{2} = t^{2}.
Assim, a equação original vira
t^{2} - 9t + 8 = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
t^{2} - 9t + 8 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-9)^{2} - 4\cdot1\cdot8 = 81 - 32 = 49,
logo as raízes são
t = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2},
ou seja
t_{1} = 1, \quad t_{2} = 8.

Passo 4

Voltando à substituição t = 2^{x}, resolvemos cada caso:
- Para t_{1}=1:
2^{x} = 1 \;\Longrightarrow\; x = 0.
- Para t_{2}=8:
2^{x} = 8 = 2^{3} \;\Longrightarrow\; x = 3.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são
x = 0 \quad\text{e}\quad x = 3.

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