Resolva as seguintes inequações:
\frac{x^{2}-3}{-x+1} \leq x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x^{2}-3}{-x+1}\le x.
O conteúdo é inequação de fração, em que precisamos:
  1. Identificar o domínio (onde o denominador não zera).
  2. Colocar tudo em um único quociente.
  3. Encontrar zeros de numerador e denominador.
  4. Fazer análise de sinais por intervalo.

Passo 2

Primeiro, note que o denominador não pode ser zero, logo
-x+1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq1.
Agora subtraímos x dos dois lados, colocando tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{x^{2}-3}{-x+1}-x\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}-3 - x(-x+1)}{-x+1}\le0.
No numerador:
x^{2}-3 - x(-x+1) = x^{2}-3 + x^{2}-x =2x^{2}-x-3.
E como -x+1=1-x, a inequação vira
\frac{2x^{2}-x-3}{1-x}\le0.

Passo 3

Fatoramos o numerador e identificamos os pontos críticos:
2x^{2}-x-3=2\bigl(x-\tfrac32\bigr)(x+1),
então tem zeros em x=-1 e x=\tfrac32. O denominador zera em x=1.
Montamos a análise de sinais nos intervalos definidos por -1,\,1,\,\tfrac32:
  • Em (-\infty,-1): numerador >0, denominador >0 → quociente >0.
  • Em (-1,1): numerador <0, denominador >0 → quociente <0.
  • Em (1,\tfrac32): numerador <0, denominador <0 → quociente >0.
  • Em (\tfrac32,\infty): numerador >0, denominador <0 → quociente <0.
Queremos onde o quociente é \le0: isto ocorre quando ele é negativo ou zero.

Passo 4

  • Zeros do numerador x=-1 e x=\tfrac32 produzem quociente zero e, como buscamos “ \le0”, esses pontos entram na solução.
  • O ponto x=1 está fora do domínio e deve ser excluído.
  • Intervários com quociente negativo são (-1,1) e (\tfrac32,\infty).
Combinando tudo, a solução é
x\in[-1,1)\,\cup\,[\tfrac32,\infty).

Resposta

[-1,1)\,\cup\,[\tfrac32,\infty)

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