Resolva em R as seguintes condições:
São dados quatro números positivos: (12, x, y, 4), sabendo que os três primeiros estão em progressão aritmética e os três últimos estão em progressão geométrica, determina x e y .

Passo 1

O enunciado dá quatro números positivos (12, x, y, 4). Sabemos que os três primeiros estão em progressão aritmética (PA) e os três últimos estão em progressão geométrica (PG). Vamos usar as definições:
– Em uma PA de termos a,b,c vale b - a = c - b.
– Em uma PG de termos a,b,c vale \tfrac{b}{a} = \tfrac{c}{b}.

Passo 2

Aplicando a condição de PA aos termos 12,x,y, temos
x - 12 \;=\; y - x
Isolando y:
y = 2x - 12.

Passo 3

Aplicando a condição de PG aos termos x,y,4, vale
\frac{y}{x} = \frac{4}{y}
Multiplicando em cruz:
y^2 = 4x.

Passo 4

Substituímos y = 2x - 12 na equação y^2 = 4x:
(2x - 12)^2 = 4x.
Expandindo e rearranjando:
4x^2 - 48x + 144 = 4x \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 - 52x + 144 = 0.

Passo 5

Dividindo por 4 e resolvendo a quadrática:
x^2 - 13x + 36 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 4)(x - 9) = 0
Logo x = 4 ou x = 9.

Passo 6

Calculamos y = 2x - 12:
  • Se x=4, então y=2\cdot4 -12 = -4 (não é positivo).
  • Se x=9, então y=2\cdot9 -12 = 6 (positivo).
Como todos os números devem ser positivos, a solução é \;x=9 e \;y=6.

Resposta

x = 9 e y = 6.

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