Resolva, em
, as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a equação exponencial
- O pedido é: resolver a equação em
, ou seja, encontrar todos os valores reais de que satisfazem essa igualdade. - Informação útil que já aparece na equação: as potências são baseadas em
(pois ), o que sugere uma substituição que simplifica a expressão.
Passo 2
Observação e substituição inteligente (reduzir exponencial a uma equação quadrática):
- Note que
. Isto é uma identitade de potências: . - Para aproveitar isso, fazemos a substituição
- Como
para todo , temos - Substituindo na equação original obtemos uma equação em
:
ou seja
Passo 3
Resolver a equação quadrática em
:
- A equação é do tipo
com , , . - A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) dá as raízes como
- Calcular o discriminante:
- Simplificar
:
- Portanto as raízes são
Passo 4
Verificar quais raízes em
são admissíveis (lembrar
):
- As duas raízes encontradas são
e . - Calcular o sinal de
: como , temos e então , ou seja, . - Mas
não pode ser negativa. Logo descartamos . - A única raiz válida é
que é positiva.
Passo 5
Voltar à variável
e resolver com logaritmos:
- Voltando à substituição
e usando a raiz válida:
- Para isolar
tomamos logaritmo na base (ou qualquer outra base, usando mudança de base). Usando logaritmo em base :
- Se preferir a forma com log natural,
- Aproximação numérica rápida (útil para conferir):
, então