Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:
4^{x}-6\cdot2^{x}-15=0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a equação exponencial 4^{x}-6\cdot2^{x}-15=0.
  • O pedido é: resolver a equação em \mathbb{R}, ou seja, encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.
  • Informação útil que já aparece na equação: as potências são baseadas em 2 (pois 4=2^2), o que sugere uma substituição que simplifica a expressão.

Passo 2

Observação e substituição inteligente (reduzir exponencial a uma equação quadrática):
  • Note que 4^{x}=(2^2)^{x}=2^{2x}=(2^{x})^2. Isto é uma identitade de potências: (a^b)^c=a^{bc}.
  • Para aproveitar isso, fazemos a substituição y=2^{x}.
  • Como 2^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, temos y>0.
  • Substituindo na equação original obtemos uma equação em y:
(2^{x})^2-6\cdot2^{x}-15=0
ou seja
y^{2}-6y-15=0.

Passo 3

Resolver a equação quadrática em y:
  • A equação é do tipo ay^{2}+by+c=0 com a=1, b=-6, c=-15.
  • A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) dá as raízes como
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
  • Calcular o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot(-15)=36+60=96.
  • Simplificar \sqrt{96}:
\sqrt{96}=\sqrt{16\cdot6}=4\sqrt{6}.
  • Portanto as raízes são
y=\frac{6\pm4\sqrt{6}}{2}=3\pm2\sqrt{6}.

Passo 4

Verificar quais raízes em y são admissíveis (lembrar y=2^{x}>0):
  • As duas raízes encontradas são y_{1}=3+2\sqrt{6} e y_{2}=3-2\sqrt{6}.
  • Calcular o sinal de y_{2}: como \sqrt{6}\approx2,449, temos 2\sqrt{6}\approx4,898 e então 3-2\sqrt{6}\approx-1,898, ou seja, y_{2}<0.
  • Mas y=2^{x} não pode ser negativa. Logo descartamos y_{2}.
  • A única raiz válida é y=3+2\sqrt{6}, que é positiva.

Passo 5

Voltar à variável x e resolver com logaritmos:
  • Voltando à substituição y=2^{x} e usando a raiz válida:
2^{x}=3+2\sqrt{6}.
  • Para isolar x tomamos logaritmo na base 2 (ou qualquer outra base, usando mudança de base). Usando logaritmo em base 2:
x=\log_{2}\!\bigl(3+2\sqrt{6}\bigr).
  • Se preferir a forma com log natural,
x=\frac{\ln\!\bigl(3+2\sqrt{6}\bigr)}{\ln 2}.
  • Aproximação numérica rápida (útil para conferir): 3+2\sqrt{6}\approx7,89898, então
x\approx\frac{\ln(7,89898)}{\ln 2}\approx\frac{2,06675}{0,693147}\approx2,982.

Resposta

x=\log_{2}\!\bigl(3+2\sqrt{6}\bigr)
x\approx2,982

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