Resolva, em
, as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a equação exponencial abaixo e pede todas as soluções reais:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
e a solução deve ser em . - As expressões envolvem potências de base
com expoentes que dependem de . - O objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem a igualdade acima.
Passo 2
Primeiro passo algébrico padrão: isolar os termos exponenciais passando o termo constante para o outro lado. Subtraindo
de ambos os lados obtemos:
Passo 3
Agora vou usar uma propriedade básica de potências para fatorar um termo em comum. Lembrete da propriedade:
ou seja, podemos escrever potências com expoentes somados como produto de potências. Aplicando isso, note que
pois
. Assim a soma pode ser escrita fatorando
:
Passo 4
Calcular o que está dentro do parêntese e simplificar:
portanto a igualdade do Passo 2 fica
Passo 5
Isolar
dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Reconhecer
como potência de base
:
. Assim chegamos à igualdade entre potências de mesma base:
Como a função
(com
e
) é injetora, igualar as potências com mesma base implica igualar os expoentes. Daí obtemos a relação
Passo 7
Verificação (usar o que já foi obtido sem declarar ainda o valor final de
). A partir de
e da fatoração usada antes,
ou seja, o valor de
encontrado satisfaz a equação original, confirmando a solução obtida algebraicamente.