Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:
3^{x+1}+3^{x-1}+20=110

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a equação exponencial abaixo e pede todas as soluções reais:
3^{x+1}+3^{x-1}+20=110.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é x e a solução deve ser em \mathbb{R}.
  • As expressões envolvem potências de base 3 com expoentes que dependem de x.
  • O objetivo é encontrar os valores de x que satisfazem a igualdade acima.

Passo 2

Primeiro passo algébrico padrão: isolar os termos exponenciais passando o termo constante para o outro lado. Subtraindo 20 de ambos os lados obtemos:
3^{x+1}+3^{x-1}=90.

Passo 3

Agora vou usar uma propriedade básica de potências para fatorar um termo em comum. Lembrete da propriedade:
a^{m+n}=a^m\cdot a^n,
ou seja, podemos escrever potências com expoentes somados como produto de potências. Aplicando isso, note que
3^{x+1}=3^{x-1}\cdot 3^{2},
pois x+1=(x-1)+2. Assim a soma pode ser escrita fatorando 3^{x-1}:
3^{x+1}+3^{x-1}=3^{x-1}\cdot 3^{2}+3^{x-1}=3^{x-1}\left(3^{2}+1\right).

Passo 4

Calcular o que está dentro do parêntese e simplificar:
3^{2}+1=9+1=10,
portanto a igualdade do Passo 2 fica
3^{x-1}\cdot 10=90.

Passo 5

Isolar 3^{x-1} dividindo ambos os lados por 10:
3^{x-1}=\frac{90}{10}=9.

Passo 6

Reconhecer 9 como potência de base 3: 9=3^{2}. Assim chegamos à igualdade entre potências de mesma base:
3^{x-1}=3^{2}.
Como a função a^t (com a>0 e a\neq1) é injetora, igualar as potências com mesma base implica igualar os expoentes. Daí obtemos a relação
x-1=2.

Passo 7

Verificação (usar o que já foi obtido sem declarar ainda o valor final de x). A partir de 3^{x-1}=9 e da fatoração usada antes,
3^{x+1}+3^{x-1}+20=3^{x-1}\cdot 9 + 3^{x-1}+20=9\cdot 9 + 9 + 20 =81+9+20=110,
ou seja, o valor de 3^{x-1} encontrado satisfaz a equação original, confirmando a solução obtida algebraicamente.

Resposta

x=3

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