Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx+\left(x^{2}-x y\right)\,dy=0.
Informações dadas (explicitadas):
  • A equação está escrita na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad N(x,y)=x^{2}-x y.
  • A incógnita é a função y(x).
  • O objetivo é encontrar a solução geral (ou família de soluções) que satisfaça essa relação diferencial.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se a equação é exata (é um teste útil e simples de fazer).
  • Calcule as derivadas parciais \frac{\partial M}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x-y.
  • Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} (em geral), a forma não é exata, então não podemos integrar diretamente M\,dx+N\,dy=0.
Agora observo algo útil: M e N são polinômios homogêneos de mesmo grau (grau 2). Isso implica que a razão \dfrac{dy}{dx} pode ser escrita apenas em função de \dfrac{y}{x}. Vamos escrever a equação na forma de derivada:
\frac{dy}{dx}=-\frac{M}{N}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-x y}.
Repare que o lado direito depende de x e y apenas pela razão y/x. Quando isso acontece, uma substituição clássica funciona bem: definir \,y=vx, com v função de x. Vou explicar por que essa substituição é boa: se y=vx então \dfrac{y}{x}=v e a razão à direita ficará uma função só de v, permitindo separar variáveis.

Passo 3

Faço a substituição y=vx. Então
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituo na equação original escrita como \dfrac{dy}{dx}=-(x^{2}+y^{2})/(x^{2}-x y):
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{x^{2}+v^{2}x^{2}}{x^{2}-x\cdot v x}.
Agora simplifico fatorando x^{2} no numerador e denominador:
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{1+v^{2}}{1-v}.
Isolo x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=-\frac{1+v^{2}}{1-v}-v.
Faço uma única fração no lado direito:
-\frac{1+v^{2}}{1-v}-v=\frac{-(1+v^{2})-v(1-v)}{1-v}=\frac{-(1+v)}{1-v}=-\frac{1+v}{1-v}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=-\frac{1+v}{1-v}.
Isso é uma equação separável em v e x. Separe as variáveis:
\frac{1-v}{1+v}\,dv=-\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integro ambos os lados. Primeiro manipulo a integral à esquerda de forma a facilitar:
\frac{1-v}{1+v}=1-\frac{2v}{1+v}.
Assim
\int\frac{1-v}{1+v}\,dv=\int\left(1-\frac{2v}{1+v}\right)dv =\int 1\,dv -2\int\frac{v}{1+v}\,dv.
Calculo a integral \int\frac{v}{1+v}\,dv usando a decomposição v=(v+1)-1:
\frac{v}{1+v}=1-\frac{1}{1+v}\quad\Longrightarrow\quad \int\frac{v}{1+v}\,dv=\int\left(1-\frac{1}{1+v}\right)dv=v-\ln|1+v|.
Portanto
\int\frac{1-v}{1+v}\,dv=v-2\bigl(v-\ln|1+v|\bigr)=-v+2\ln|1+v|.
Do lado direito
\int -\frac{dx}{x}=-\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Igualando as integrais:
-v+2\ln|1+v|=-\ln|x|+C.

Passo 5

Volto à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Substituo:
-\frac{y}{x}+2\ln\!\Big|1+\frac{y}{x}\Big|=-\ln|x|+C.
Posso rearranjar para uma forma implícita mais compacta. Levo o termo -\ln|x| para o lado esquerdo:
2\ln\!\Big|1+\frac{y}{x}\Big|+\ln|x|-\frac{y}{x}=C.
Uso propriedades de logaritmo para juntar os dois logaritmos:
\ln\!\left(\;|x|\Big|1+\frac{y}{x}\Big|^{2}\right)-\frac{y}{x}=C.
Note que \Big|1+\dfrac{y}{x}\Big|^{2}=\dfrac{|x+y|^{2}}{x^{2}}, então
|x|\Big|1+\frac{y}{x}\Big|^{2}=\frac{(x+y)^{2}}{|x|}.
Assim outra forma elegante da solução implícita é
\ln\!\left|\frac{(x+y)^{2}}{x}\right|-\frac{y}{x}=C.
Se preferir uma forma explícita sem logaritmo, exponencio ambos os lados e absorvo constantes:
\frac{(x+y)^{2}}{x}\,e^{-y/x}=C_{1},
onde C_{1}=e^{C} é uma constante arbitrária positiva (pode-se estender a \pm tomando valor absoluto antes, mas esta forma é suficiente para a família geral).

Passo 6

Verifico soluções singulares que a separação pode ter perdido: durante a separação houve divisão por (1+v) e por (1-v) em algumas manipulações, então é preciso checar se v constante resolve a equação original. Se v constante, então dv/dx=0 e da equação separada
0=-\frac{1+v}{x(1-v)}
segue que 1+v=0, ou seja v=-1. Isso corresponde a
y=-x.
Testo na equação original: se y=-x então dy=-dx e
(x^{2}+y^{2})\,dx+(x^{2}-x y)\,dy=2x^{2}dx+2x^{2}(-dx)=0,
logo y=-x é realmente uma solução (solução singular/particular que a integração deixou fora da forma geral). Também note que y=x (ou v=1) não é solução geral porque substituindo y=x obtém-se 2x^{2}dx=0 que não vale identicamente para x\neq0.
Conclusão: a família geral dada implicitamente mais a reta y=-x cobrem as soluções.

Resposta

\displaystyle \ln\!\left|\frac{(x+y)^{2}}{x}\right|-\frac{y}{x}=C
\displaystyle y=-x

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