A equação está escrita na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 comM(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad N(x,y)=x^{2}-x y.
A incógnita é a função y(x).
O objetivo é encontrar a solução geral (ou família de soluções) que satisfaça essa relação diferencial.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se a equação é exata (é um teste útil e simples de fazer).
Calcule as derivadas parciais\frac{\partial M}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x-y.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} (em geral), a forma não é exata, então não podemos integrar diretamente M\,dx+N\,dy=0.
Agora observo algo útil: M e N são polinômios homogêneos de mesmo grau (grau 2). Isso implica que a razão \dfrac{dy}{dx} pode ser escrita apenas em função de \dfrac{y}{x}. Vamos escrever a equação na forma de derivada:
Repare que o lado direito depende de x e y apenas pela razão y/x. Quando isso acontece, uma substituição clássica funciona bem: definir \,y=vx, com v função de x. Vou explicar por que essa substituição é boa: se y=vx então \dfrac{y}{x}=v e a razão à direita ficará uma função só de v, permitindo separar variáveis.
Passo 3
Faço a substituição y=vx. Então
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituo na equação original escrita como \dfrac{dy}{dx}=-(x^{2}+y^{2})/(x^{2}-x y):
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{x^{2}+v^{2}x^{2}}{x^{2}-x\cdot v x}.
Agora simplifico fatorando x^{2} no numerador e denominador:
Se preferir uma forma explícita sem logaritmo, exponencio ambos os lados e absorvo constantes:
\frac{(x+y)^{2}}{x}\,e^{-y/x}=C_{1},
onde C_{1}=e^{C} é uma constante arbitrária positiva (pode-se estender a \pm tomando valor absoluto antes, mas esta forma é suficiente para a família geral).
Passo 6
Verifico soluções singulares que a separação pode ter perdido: durante a separação houve divisão por (1+v) e por (1-v) em algumas manipulações, então é preciso checar se v constante resolve a equação original. Se v constante, então dv/dx=0 e da equação separada
logo y=-x é realmente uma solução (solução singular/particular que a integração deixou fora da forma geral). Também note que y=x (ou v=1) não é solução geral porque substituindo y=x obtém-se 2x^{2}dx=0 que não vale identicamente para x\neq0.
Conclusão: a família geral dada implicitamente mais a reta y=-x cobrem as soluções.