Resolva, em
, as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a equação exponencial abaixo:
Informações dadas:
- A base da exponencial é
. - O membro direito é o número
. - A incógnita é
e deve ser encontrada em .
Passo 2
Observação útil (fato que vamos usar): se
e
, a função
é injetora, isto é, sempre que
temos necessariamente
Isto acontece porque exponenciais com base fixa são estritamente crescentes (se
) ou estritamente decrescentes (se
), logo não podem assumir o mesmo valor para dois expoentes diferentes. No nosso caso,
, então podemos igualar os expoentes sempre que escrevermos o outro lado como potência de
.
Passo 3
Escrever
como potência de
. Sabemos que
Portanto a equação fica
Passo 4
Aplicando o fato da injetividade da exponencial com base
, igualamos os expoentes:
Passo 5
Resolver a equação algébrica resultante. Primeiro levar tudo para o lado esquerdo:
ou seja
Passo 6
Multiplicar por
para obter coeficiente positivo no termo quadrático:
Passo 7
Fatorar o polinômio quadrático. Procuramos dois números cuja soma seja
e produto
; esses números são
e
. Assim
Igualando a zero, obtemos as soluções
Passo 8
Verificação rápida (substituição na equação original):
- Para
: expoente . Então , ok. - Para
: expoente . Então , ok.