Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:
2^{-x^{2}+2 x+5}=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a equação exponencial abaixo:
2^{-x^{2}+2x+5}=4.
Informações dadas:
  • A base da exponencial é 2.
  • O membro direito é o número 4.
  • A incógnita é x e deve ser encontrada em \mathbb{R}.

Passo 2

Observação útil (fato que vamos usar): se a>0 e a\neq1, a função a^{t} é injetora, isto é, sempre que
a^{u}=a^{v}
temos necessariamente
u=v.
Isto acontece porque exponenciais com base fixa são estritamente crescentes (se a>1) ou estritamente decrescentes (se 0<a<1), logo não podem assumir o mesmo valor para dois expoentes diferentes. No nosso caso, a=2>1, então podemos igualar os expoentes sempre que escrevermos o outro lado como potência de 2.

Passo 3

Escrever 4 como potência de 2. Sabemos que
4=2^{2}.
Portanto a equação fica
2^{-x^{2}+2x+5}=2^{2}.

Passo 4

Aplicando o fato da injetividade da exponencial com base 2, igualamos os expoentes:
-x^{2}+2x+5=2.

Passo 5

Resolver a equação algébrica resultante. Primeiro levar tudo para o lado esquerdo:
-x^{2}+2x+5-2=0,
ou seja
-x^{2}+2x+3=0.

Passo 6

Multiplicar por -1 para obter coeficiente positivo no termo quadrático:
x^{2}-2x-3=0.

Passo 7

Fatorar o polinômio quadrático. Procuramos dois números cuja soma seja -2 e produto -3; esses números são -3 e 1. Assim
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Igualando a zero, obtemos as soluções
x-3=0\quad\Rightarrow\quad x=3,
x+1=0\quad\Rightarrow\quad x=-1.

Passo 8

Verificação rápida (substituição na equação original):
  • Para x=3: expoente -3^{2}+2\cdot3+5 = -9+6+5=2. Então 2^{2}=4, ok.
  • Para x=-1: expoente -(-1)^{2}+2\cdot(-1)+5 = -1-2+5=2. Então 2^{2}=4, ok.

Resposta

x=3
x=-1

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