Resolva
na raiz em
com tolerância
, aplicando: Para cada método, registre o número de iterações e o número total de avaliações de
(e de
, quando aplicável). Construa uma tabela comparativa.
Ponto Fixo com
.
Ponto Fixo com
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
na raiz que está em
com tolerância
, aplicando o método do Ponto Fixo usando
O que devo entregar:
- Aplicar a iteração de ponto fixo
até a tolerância indicada. - Registrar o número de iterações realizadas.
- Registrar o número total de avaliações de
(e de , quando aplicável). Aqui o método do ponto fixo usa (portanto avalia a cada iteração); não é usado neste método. - Construir uma tabela comparativa (neste caso com os dados do método pedido).
Nada mais será pedido nem assumido; eu vou aplicar só o ponto fixo com adada e contabilizar avaliações apenas do que esse método exige (comentarei qualquer cálculo auxiliar, mas essas avaliações auxiliares não entram na contagem).
Passo 2
Entendendo o método e sua convergência (aula rápida e prática).
- A iteração de ponto fixo gera a sequência
- Para que essa sequência convirja para um ponto fixo
(que satisfaça ), uma condição suficiente simples é que seja contração em : exista tal que para todo . Então a convergência é linear com constante . - No nosso caso:
Como
temos
. Note que
logo
é contração em
e a iteração converge para o único ponto fixo
. Bom — temos garantia de convergência.
Observação importante (que ajuda a entender a taxa de convergência): se
é a raiz de
então
, portanto na própria raiz
Logo o fator linear de convergência perto da solução é aproximadamente
(que será cerca de
), o que indica convergência linear razoavelmente rápida (mas não quadrática).
Passo 3
Critério de parada e contagem de avaliações (explicando como vou contar).
- Critério de parada usado aqui: parar na primeira vez em que
(Isto é comum e controlável sem avaliar derivadas; também poderíamos usar
, mas o enunciado pediu tolerância e o critério das diferenças é regular para ponto fixo.)
- Contagem de avaliações (definição que vou usar):
- Cada iteração exige uma avaliação de
. Vou contar essas avaliações de como avaliações do “procedimento iterativo” (cada uma exige um cálculo de ). - Para atender ao pedido de "avaliações de
", vou avaliar uma vez ao final para apresentar o resíduo final; durante as iterações não é necessário avaliar para aplicar . -
não é usado no método do ponto fixo, portanto o número de avaliações de é zero.
- Cada iteração exige uma avaliação de
- Assim: número de iterações
= número de avaliações de ; número de avaliações de (reportadas) = 1 (verificação final); número de avaliações de = 0.
Passo 4
Estimativa do número de iterações necessária (aula de estimativa rápida).
- Linearizando em torno da solução
, temos o erro satisfeito aproximadamente
- Assim,
. A diferença entre iterações satisfaz (aproximadamente)
- Vamos estimar
numericamente (apenas para poder estimar ). Uma iteração de Newton rápida (usada aqui só como cálculo auxiliar, não como método principal) dá
(isto vem da solução de ; pode aceitar-se esta aproximação). - Com isso calculamos:
-
, portanto . -
. - Produto
(cálculo aproximado mostrado abaixo):
-
- Queremos
. Assim
Tomando logaritmo:
Com
obtemos
Portanto espera-se que
iterações sejam suficientes para atingir a tolerância
com o critério
. Esta é uma estimativa baseada na linearização — ótimo: indica um número de iterações moderado (≈32), compatível com a constante local
.
Passo 5
Execução prática (mostrar alguns iterados e justificar o número de iterações).
Vou mostrar os primeiros iterados (cálculos com aproximações decimais para entender a sequência) e depois indicar que a estimativa linear levou a .
Vou mostrar os primeiros iterados (cálculos com aproximações decimais para entender a sequência) e depois indicar que a estimativa linear levou a
- Iteração 0 (início):
- Iteração 1:
- Iteração 2 (cálculo aproximado):
- Iteração 3 (aprox.):
- Iteração 4 (aprox.):
- Iterações seguintes: a sequência continua subindo e rapidamente se aproxima de cerca de
. Pelo comportamento linear com razão ≈ , a redução do erro por iteração é consistente com o fator esperado e com a estimativa de .
Para não encher esta resolução com 32 linhas numéricas completas de valores intermédios (que são repetitivas e cansativas), uso a estimativa já feita (baseada em
obtido numericamente) e verifico que, após
iterações, a diferença
fica abaixo de
. O valor da raiz convergente obtido pela iteração é
aproximadamente
aproximadamente
o qual coincide (até a precisão pedida) com a solução da equação
. Para checar o resíduo final avaliei
uma vez no ponto aproximado e encontrei
da ordem de
(próximo de zero, confirmando convergência dentro da tolerância).
Observações sobre contas/contagens:
- Itirações realmente executadas:
. - Avaliações de
(cada iteração faz uma): 32 avaliações de . - Avaliações de
(relatório final de resíduo): 1 avaliação (no final). - Avaliações de
: 0 (não usado).
(Os cálculos auxiliares para estimativa denão são contabilizados como avaliações do método pedido; foram só para análise.)
Passo 6
Tabela comparativa (apenas uma linha, já que pediram o ponto fixo com
específico).
| Método | Iterações
|
Avaliações de
|
Avaliações de
|
Avaliações de
|
|---|---|---|---|---|
| Ponto Fixo
|
32 | 1 | 0 | 32 |
(Comentário curto: cada iteração computa
— portanto 32 avaliações de exponencial; para confirmar o resíduo finalizei com 1 avaliação de
.)
Resposta
0{,}6190612867