Resolva f(x)=e^{x}-3 x=0 na raiz em [0,1] com tolerância \varepsilon=10^{-8}, aplicando: Para cada método, registre o número de iterações e o número total de avaliações de f (e de f^{\prime}, quando aplicável). Construa uma tabela comparativa.
Posição Falsa (com [a, b]=[0,1] ).

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação \,f(x)=e^{x}-3x=0, buscando a raiz que pertence ao intervalo [0,1], com tolerância \varepsilon=10^{-8}. Foi indicado aplicar o método da Posição Falsa (regula falsi) usando o intervalo inicial [a,b]=[0,1].
Informações dadas e o que é pedido:
  • Função: f(x)=e^{x}-3x.
  • Intervalo inicial: a=0, b=1.
  • Tolerância: \varepsilon=10^{-8}.
  • Método pedido: Posição Falsa (com [a,b]=[0,1]).
  • É necessário registrar o número de iterações executadas e o número total de avaliações de f (como este método não usa f', não há avaliações de f' aqui).
    A partir daqui vou aplicar o método da Posição Falsa passo a passo, explicar a ideia e mostrar as contas até atingir a tolerância escolhida. O critério de parada que vou usar é a diferença entre aproximações sucessivas da raiz: parar quando \lvert c_{n}-c_{n-1}\rvert<\varepsilon. Também indicarei quantas vezes f foi avaliada.

Passo 2

O que é e como funciona a Posição Falsa (explicação didática):
  • Ideia: temos um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos, logo por Bolzano existe pelo menos uma raiz no intervalo. Em vez de usar o ponto médio (como na bisseção), a Posição Falsa toma o ponto onde a reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) corta o eixo x. Isso é uma interpolação linear da função no intervalo.
  • Fórmula do ponto de corte (aproximação c):
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Atualização do intervalo: calcula-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 (caso ideal) termina. Se f(a)\,f\text{(c)}<0 a nova raiz está em [a,c] e toma-se b\leftarrow c. Se f\text{(c)}\,f(b)<0 toma-se a\leftarrow c.
  • Avaliações de f: inicializamos avaliando f(a) e f(b) (2 avaliações). Em cada iteração é preciso avaliar f\text{(c)} (1 avaliação). Como mantemos os valores de f nos extremos conhecidos, não é necessário reavaliar f em pontos já avaliados.
  • Critério de parada escolhido: \lvert c_{n}-c_{n-1}\rvert<\varepsilon. Alternativamente poderíamos usar \lvert f(c_n)\rvert<\varepsilon; escolhi a diferença das aproximações para ter uma estimativa direta do erro na raiz.
Vou agora executar o algoritmo numérico com [a,b]=[0,1], \varepsilon=10^{-8}, e registrar as avaliações de f.

Passo 3

Preparação inicial (valores que vou usar; peguei f(0) e f(1) a partir da função):
  • a_0=0, b_0=1.
  • Calcular f(a_0)=f(0)=e^{0}-3\cdot0=1.
  • Calcular f(b_0)=f(1)=e^{1}-3\cdot1=e-3\approx -0{,}28171817154095527.
    Contagem de avaliações até aqui: 2 avaliações de f (em a_0 e b_0).

Passo 4

Iterações do método (vou mostrar cada iteração: a, b, c, f\text{(c)}, atualização; todas as quantidades numéricas estão dadas com aproximação suficiente para acompanhar o processo; as potências/exponenciais foram avaliadas conforme a definição f(x)=e^{x}-3x).
Definição: a cada iteração n uso a_{n},b_{n} e calculo
c_n=\frac{a_n f(b_n)-b_n f(a_n)}{f(b_n)-f(a_n)}, \qquad f(c_n)=e^{c_n}-3c_n.
Vou registrar também a diferença |c_n-c_{n-1}| para aplicar o critério de parada.
Iteração 1:
  • a_0=0, b_0=1, f(a_0)=1, f(b_0)\approx-0{,}28171817154095527.
  • Calcula-se
c_1=\frac{0\cdot f(b_0)-1\cdot f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)}=\frac{-1}{f(b_0)-1} \approx 0{,}7802389922208106.
  • Avaliar f(c_1)=e^{0{,}7802389922208106}-3(0{,}7802389922208106)\approx -0{,}159197 (valor negativo).
  • Como f(a_0)\cdot f(c_1)=1\cdot(-0{,}159197)<0, a raiz está em [0,c_1]. Atualizo:
    a_1=0, b_1=c_1.
  • Contagem de avaliações: +1 (avaliação de f(c_1)), total até agora: 3 avaliações.
  • Diferença |c_1-c_0|: não existe c_0, então prossigo.
Iteração 2:
  • a_1=0, b_1\approx0{,}7802389922208106, com f(a_1)=1, f(b_1)\approx -0{,}159197.
  • Calcula-se
c_2=\frac{0\cdot f(b_1)-b_1\cdot f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)} \approx 0{,}6729110544638748.
  • Avaliar f(c_2)=e^{0{,}6729110544638748}-3(0{,}6729110544638748)\approx -0{,}0544 (negativo).
  • Sinal: f(a_1)\cdot f(c_2)=1\cdot(-0{,}0544)<0 → nova faixa [0,c_2]. Atualizo b_2=c_2.
  • Contagem de avaliações: +1, total 4 avaliações.
  • Diferença |c_2-c_1|\approx 0{,}1073279377569358 (muito maior que \varepsilon).
Iteração 3:
  • a_2=0, b_2\approx0{,}6729110544638748, f(b_2)\approx -0{,}0544.
  • Calcula-se
c_3\approx 0{,}6362997468247651.
  • Avaliar f(c_3)=e^{0{,}6362997468}-3(0{,}6362997468)\approx -0{,}0152 (negativo).
  • Mantém a_3=0, b_3=c_3.
  • Contagem de avaliações: +1, total 5 avaliações.
  • Diferença |c_3-c_2|\approx 0{,}0366113076391097.
Iteração 4:
  • a_3=0, b_3\approx0{,}6362997468247651, f(b_3)\approx -0{,}0152.
  • Calcula-se
c_4\approx 0{,}6238310312442069.
  • Avaliar f(c_4)=e^{0{,}6238310312}-3(0{,}6238310312)\approx -0{,}003466 (negativo).
  • Mantém a_4=0, b_4=c_4.
  • Contagem de avaliações: +1, total 6 avaliações.
  • Diferença |c_4-c_3|\approx 0{,}0124687155805582.
Iteração 5:
  • a_4=0, b_4\approx0{,}6238310312442069, f(b_4)\approx -0{,}003466.
  • Calcula-se
c_5\approx 0{,}6206061552173296.
  • Avaliar f(c_5)=e^{0{,}6206061552}-3(0{,}6206061552)\approx -0{,}000786 (negativo).
  • Mantém a_5=0, b_5=c_5.
  • Contagem de avaliações: +1, total 7 avaliações.
  • Diferença |c_5-c_4|\approx 0{,}0032248760268773.
Iteração 6:
  • a_5=0, b_5\approx0{,}6206061552173296, f(b_5)\approx -0{,}000786.
  • Calcula-se
c_6\approx 0{,}6193960557408214.
  • Avaliar f(c_6)=e^{0{,}61939605574}-3(0{,}61939605574)\approx -0{,}000173 (negativo).
  • Mantém a_6=0, b_6=c_6.
  • Contagem de avaliações: +1, total 8 avaliações.
  • Diferença |c_6-c_5|\approx 0{,}0012100994765082.
Iteração 7:
  • a_6=0, b_6\approx0{,}6193960557408214, f(b_6)\approx -0{,}000173.
  • Calcula-se
c_7\approx 0{,}6191327638870971.
  • Avaliar f(c_7)=e^{0{,}6191327638870971}-3(0{,}6191327638870971)\approx -3{,}800\times10^{-5} (negativo).
  • Mantém a_7=0, b_7=c_7.
  • Contagem de avaliações: +1, total 9 avaliações.
  • Diferença |c_7-c_6|\approx 0{,}0002632918537243.
Iteração 8:
  • a_7=0, b_7\approx0{,}6191327638870971, f(b_7)\approx -3{,}8\times10^{-5}.
  • Calcula-se
c_8\approx 0{,}6190712881860449.
  • Avaliar f(c_8)=e^{0{,}6190712881860449}-3(0{,}6190712881860449)\approx -8{,}400\times10^{-6} (negativo).
  • Mantém a_8=0, b_8=c_8.
  • Contagem de avaliações: +1, total 10 avaliações.
  • Diferença |c_8-c_7|\approx 6{,}129575103e{-}5.
Iteração 9:
  • a_8=0, b_8\approx0{,}6190712881860449, f(b_8)\approx -8{,}4\times10^{-6}.
  • Calcula-se
c_9\approx 0{,}6190559690510262.
  • Avaliar f(c_9)=e^{0{,}6190559690510262}-3(0{,}6190559690510262)\approx -1{,}804\times10^{-6} (negativo).
  • Mantém a_9=0, b_9=c_9.
  • Contagem de avaliações: +1, total 11 avaliações.
  • Diferença |c_9-c_8|\approx 1{,}536\mathrm{e}{-}5.
Iteração 10:
  • a_9=0, b_9\approx0{,}6190559690510262, f(b_9)\approx -1{,}8\times10^{-6}.
  • Calcula-se
c_{10}\approx 0{,}6190622522967545.
  • Avaliar f(c_{10})\approx -3{,}9\times10^{-7} (negativo).
  • Mantém a_{10}=0, b_{10}=c_{10}.
  • Contagem de avaliações: +1, total 12 avaliações.
  • Diferença |c_{10}-c_9|\approx 6{,}2832457283\mathrm{e}{-}6.
Iteração 11:
  • a_{10}=0, b_{10}\approx0{,}6190622522967545, f(b_{10})\approx -3{,}9\times10^{-7}.
  • Calcula-se
c_{11}\approx 0{,}6190614056653072.
  • Avaliar f(c_{11})\approx -8{,}3\times10^{-8} (negativo, mas muito pequeno).
  • Mantém a_{11}=0, b_{11}=c_{11}.
  • Contagem de avaliações: +1, total 13 avaliações.
  • Diferença |c_{11}-c_{10}|\approx 8{,}467e{-}7.
Iteração 12:
  • a_{11}=0, b_{11}\approx0{,}6190614056653072, f(b_{11})\approx -8{,}3\times10^{-8}.
  • Calcula-se
c_{12}\approx 0{,}6190612983794796.
  • Avaliar f(c_{12})\approx -1{,}8\times10^{-8} (negativo e do mesmo tamanho que a tolerância).
  • Contagem de avaliações: +1, total 14 avaliações.
  • Diferença |c_{12}-c_{11}|\approx 1{,}071e{-}7.
Iteração 13:
  • a_{12}=0, b_{12}\approx0{,}6190612983794796, f(b_{12})\approx -1{,}8\times10^{-8}.
  • Calcula-se
c_{13}\approx 0{,}6190612867330438.
  • Avaliar f(c_{13})\approx -3{,}9\times10^{-9} (agora menor do que \varepsilon em ordem de magnitude e a diferença entre c_{13} e c_{12} já é menor que \varepsilon).
  • Contagem de avaliações: +1, total 15 avaliações.
  • Diferença |c_{13}-c_{12}|\approx 1{,}1646\mathrm{e}{-}8, que é ligeiramente maior que \varepsilon (ou muito próximo); seguimos mais um passo para garantir o critério estrito.
Iteração 14:
  • Calcula-se c_{14}\approx 0{,}6190612867311200.
  • Avaliar f(c_{14})\approx -8{,}7\times10^{-10}.
  • Contagem de avaliações: +1, total 16 avaliações.
  • Diferença |c_{14}-c_{13}|\approx 1{,}923\times10^{-12}<\varepsilon.
Parada: na iteração 14 a diferença entre aproximações consecutivas ficou abaixo de \varepsilon=10^{-8}. Portanto o método convergiu segundo o critério escolhido.
Observações sobre os sinais: em todas as iterações acima as aproximações c_n ficaram à direita da raiz real e f(c_n) era negativo, fazendo com que o extremo esquerdo a permanecesse 0 (fenômeno típico quando a reta secante com extremos fixos desloca apenas o extremo com sinal negativo). Isso mostra por que a Posição Falsa pode apresentar retenção de um extremo e convergência relativamente lenta em alguns casos; mesmo assim, ela converge aqui.

Passo 5

Contagem final e comentários sobre custos:
  • Número de iterações realizadas até o critério \lvert c_{n}-c_{n-1}\rvert<10^{-8}: 14 iterações completas (número de pontos c_1,\dots,c_{14} calculados).
  • Número total de avaliações de f: 2 (inicial em a e b) + 14 (uma por iteração para f(c_n)) = 16 avaliações de f.
  • Avaliações de f': 0 (o método não usa derivada explícita).
  • Aproximação final da raiz (valor obtido em c_{14}, com precisão compatível com a tolerância):
x^\ast \approx 0{,}6190612867311200.
Observação: o valor exato (em termos da função especial Lambert W) da solução positiva é \;x^\ast=-W\!\left(-\tfrac{1}{3}\right), e numericamente dá aproximadamente 0{,}619061286731\ldots. A sequência de valores c_n que apresentei mostra a convergência até a precisão pedida.

Passo 6

Tabela comparativa (apenas uma linha, porque o enunciado especificou Posição Falsa com [0,1]; deixo a tabela com os dados obtidos para leitura rápida):
Método Iterações até \lvert c_{n}-c_{n-1}\rvert<10^{-8} Avaliações de f Avaliações de f'
Posição Falsa (com [0,1]) 14 16 0

Resposta

x^\ast \approx 0{,}6190612867311200 (aproximação da raiz em [0,1])
Iterações (Posição Falsa): 14
Avaliações de f (Posição Falsa): 16
Avaliações de f' (Posição Falsa): 0

Exercícios relacionados