Resolva
na raiz em
com tolerância
, aplicando: Para cada método, registre o número de iterações e o número total de avaliações de
(e de
, quando aplicável). Construa uma tabela comparativa.
Posição Falsa (com
).
Posição Falsa (com
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
, buscando a raiz que pertence ao intervalo
, com tolerância
. Foi indicado aplicar o método da Posição Falsa (regula falsi) usando o intervalo inicial
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Tolerância:
. - Método pedido: Posição Falsa (com
). - É necessário registrar o número de iterações executadas e o número total de avaliações de
(como este método não usa , não há avaliações de aqui).
A partir daqui vou aplicar o método da Posição Falsa passo a passo, explicar a ideia e mostrar as contas até atingir a tolerância escolhida. O critério de parada que vou usar é a diferença entre aproximações sucessivas da raiz: parar quando. Também indicarei quantas vezes foi avaliada.
Passo 2
O que é e como funciona a Posição Falsa (explicação didática):
- Ideia: temos um intervalo
com e de sinais opostos, logo por Bolzano existe pelo menos uma raiz no intervalo. Em vez de usar o ponto médio (como na bisseção), a Posição Falsa toma o ponto onde a reta que passa por e corta o eixo . Isso é uma interpolação linear da função no intervalo. - Fórmula do ponto de corte (aproximação
):
- Atualização do intervalo: calcula-se
. Se (caso ideal) termina. Se a nova raiz está em e toma-se . Se toma-se . - Avaliações de
: inicializamos avaliando e (2 avaliações). Em cada iteração é preciso avaliar (1 avaliação). Como mantemos os valores de nos extremos conhecidos, não é necessário reavaliar em pontos já avaliados. - Critério de parada escolhido:
. Alternativamente poderíamos usar ; escolhi a diferença das aproximações para ter uma estimativa direta do erro na raiz.
Vou agora executar o algoritmo numérico com
,
, e registrar as avaliações de
.
Passo 3
Preparação inicial (valores que vou usar; peguei
e
a partir da função):
-
, . - Calcular
. - Calcular
Contagem de avaliações até aqui: 2 avaliações de(em e ).
Passo 4
Iterações do método (vou mostrar cada iteração:
,
,
,
, atualização; todas as quantidades numéricas estão dadas com aproximação suficiente para acompanhar o processo; as potências/exponenciais foram avaliadas conforme a definição
).
Definição: a cada iteração
uso
e calculo
Vou registrar também a diferença
para aplicar o critério de parada.
Iteração 1:
-
, , , . - Calcula-se
- Avaliar
(valor negativo). - Como
, a raiz está em . Atualizo:
, . - Contagem de avaliações: +1 (avaliação de
), total até agora: 3 avaliações. - Diferença
: não existe , então prossigo.
Iteração 2:
-
, , com , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo). - Sinal:
→ nova faixa . Atualizo . - Contagem de avaliações: +1, total 4 avaliações.
- Diferença
(muito maior que ).
Iteração 3:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo). - Mantém
, . - Contagem de avaliações: +1, total 5 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 4:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo). - Mantém
, . - Contagem de avaliações: +1, total 6 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 5:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo). - Mantém
, . - Contagem de avaliações: +1, total 7 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 6:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo). - Mantém
, . - Contagem de avaliações: +1, total 8 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 7:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo). - Mantém
, . - Contagem de avaliações: +1, total 9 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 8:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo). - Mantém
, . - Contagem de avaliações: +1, total 10 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 9:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo). - Mantém
, . - Contagem de avaliações: +1, total 11 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 10:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo). - Mantém
, . - Contagem de avaliações: +1, total 12 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 11:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo, mas muito pequeno). - Mantém
, . - Contagem de avaliações: +1, total 13 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 12:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(negativo e do mesmo tamanho que a tolerância). - Contagem de avaliações: +1, total 14 avaliações.
- Diferença
.
Iteração 13:
-
, , . - Calcula-se
- Avaliar
(agora menor do que em ordem de magnitude e a diferença entre c_{13} e c_{12} já é menor que ). - Contagem de avaliações: +1, total 15 avaliações.
- Diferença
, que é ligeiramente maior que (ou muito próximo); seguimos mais um passo para garantir o critério estrito.
Iteração 14:
- Calcula-se
. - Avaliar
. - Contagem de avaliações: +1, total 16 avaliações.
- Diferença
.
Parada: na iteração 14 a diferença entre aproximações consecutivas ficou abaixo de
. Portanto o método convergiu segundo o critério escolhido.
Observações sobre os sinais: em todas as iterações acima as aproximações
ficaram à direita da raiz real e
era negativo, fazendo com que o extremo esquerdo
permanecesse
(fenômeno típico quando a reta secante com extremos fixos desloca apenas o extremo com sinal negativo). Isso mostra por que a Posição Falsa pode apresentar retenção de um extremo e convergência relativamente lenta em alguns casos; mesmo assim, ela converge aqui.
Passo 5
Contagem final e comentários sobre custos:
- Número de iterações realizadas até o critério
: 14 iterações completas (número de pontos calculados). - Número total de avaliações de
: 2 (inicial em e ) + 14 (uma por iteração para ) = 16 avaliações de . - Avaliações de
: 0 (o método não usa derivada explícita). - Aproximação final da raiz (valor obtido em
, com precisão compatível com a tolerância):
Observação: o valor exato (em termos da função especial Lambert
) da solução positiva é
, e numericamente dá aproximadamente
. A sequência de valores
que apresentei mostra a convergência até a precisão pedida.
Passo 6
Tabela comparativa (apenas uma linha, porque o enunciado especificou Posição Falsa com
; deixo a tabela com os dados obtidos para leitura rápida):
| Método | Iterações até
|
Avaliações de
|
Avaliações de
|
|---|---|---|---|
| Posição Falsa (com
|
14 | 16 | 0 |
Resposta
Iterações (Posição Falsa):
Avaliações de
Avaliações de