Resolva f(x)=e^{x}-3 x=0 na raiz em [0,1] com tolerância \varepsilon=10^{-8}, aplicando: Para cada método, registre o número de iterações e o número total de avaliações de f (e de f^{\prime}, quando aplicável). Construa uma tabela comparativa.
Secante, x_{0}=0, x_{1}=1.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação f(x)=e^{x}-3x=0 procurando a raiz em [0,1] com tolerância \varepsilon=10^{-8}. Informações fornecidas:
  • Função: f(x)=e^{x}-3x.
  • Intervalo onde buscar a raiz: [0,1].
  • Tolerância desejada: \varepsilon=10^{-8}.
  • Método explicitamente indicado (para esse caso): Secante com x_{0}=0 e x_{1}=1.
O pedido adicional é: para cada método registrar (i) o número de iterações e (ii) o número total de avaliações de f (e de f' quando aplicável), e construir uma tabela comparativa. Para efeito de comparação e de aprendizado vou aplicar três métodos clássicos (os que normalmente o professor espera comparar): Bissecção, Newton–Raphson e Secante. Mantém-se o caso dado para a Secante com x_{0}=0, x_{1}=1. Não foi pedido explicitamente que eu use outros chutes para Newton; escolho um chute inicial razoável dentro do intervalo: x_{0}=0{,}5.
A resolução numérica começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos primeiro checar se existe raiz em [0,1] (condição básica para bissecção etc.). Calculam-se os valores das extremidades:
f(0)=e^{0}-3\cdot 0=1, \qquad f(1)=e^{1}-3\cdot 1=e-3\approx -0{,}281718171540955.
Como f(0)\cdot f(1)<0 (sinais opostos), existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Bom — podemos aplicar bissecção, Newton e secante com segurança.
Agora vou explicar cada método, mostrar como ele gera aproximações e registrar número de iterações e avaliações de função.

Passo 3

Método da bissecção — teoria e contagem:
  • Ideia: a cada iteração divide-se o intervalo [a,b] ao meio e escolhe-se o subintervalo onde há mudança de sinal. A cada iteração reduzimos o comprimento do intervalo pela metade.
  • Critério de parada (usado aqui): tamanho do intervalo menor que \varepsilon, ou alternativa: diferença entre aproximações consecutivas menor que \varepsilon. Usarei o critério clássico de bissecção baseado no comprimento do intervalo: parar quando \dfrac{b-a}{2^{n}}\le \varepsilon.
  • Fórmula para número mínimo n de iterações necessárias para garantir erro menor que \varepsilon:
n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
Substituindo a=0, b=1, \varepsilon=10^{-8}:
n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{1}{10^{-8}}\right)\right\rceil = \left\lceil \log_{2}(10^{8})\right\rceil = \left\lceil 8\log_{2}(10)\right\rceil \approx \left\lceil 8\cdot 3{,}321928\right\rceil = \left\lceil 26{,}5754\right\rceil = 27.
  • Contagem de avaliações de f: inicialmente avaliamos f(a) e f(b) (2 avaliações). A cada iteração calculamos f no ponto médio (1 avaliação) e substituímos um extremo. Portanto, com n iterações, o total de avaliações de f é 2 + n. Assim para n=27 obtemos 2+27=29 avaliações de f.
  • Conclusão para bissecção: número de iterações necessárias =27; avaliações de f =29. A aproximação final obtida pela bissecção é o ponto médio do último intervalo; esse valor tem erro garantido \le 10^{-8}.
Observação didática curta: a bissecção é robusta (sempre converge quando há mudança de sinal) e tem convergência linear (lentíssima comparada a Newton/ Secante), mas o número de avaliações é previsível via a fórmula acima.

Passo 4

Método de Newton–Raphson — teoria e implementação prática:
  • Fórmula iterativa:
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
  • Para nossa função f(x)=e^{x}-3x, a derivada é
f'(x)=e^{x}-3.
  • Cada iteração exige uma avaliação de f(x_{k}) e de f'(x_{k}). Costuma-se contar essas duas avaliações por iteração. Para o primeiro chute x_{0} também é preciso avaliar f e f' para obter x_{1}.
  • Escolha do chute: x_{0}=0{,}5 (um ponto central do intervalo).
  • Vou mostrar as iterações principais (valores aproximados com dígitos suficientes para ver a convergência). Em cada linha mostro x_{k}, f(x_{k}) e f'(x_{k}), e o passo para x_{k+1}. (Explico por que isso é feito: Newton usa a reta tangente em x_k para aproximar a raiz — fórmula acima.)
  • Iterações (valores aproximados, exibidos com dígitos suficientes para acompanhar a convergência):
    1. x_{0}=0{,}5. f(x_{0})=e^{0{,}5}-3(0{,}5)\approx 1{,}648721270700128-1{,}5=0{,}148721270700128,
f'(x_{0})=e^{0{,}5}-3\approx -1{,}351278729299872.
 Atualização:
 \[x_{1}=0{,}5-\frac{0{,}148721270700128}{-1{,}351278729299872}\approx 0{,}6100594448.\]
  1. x_{1}\approx 0{,}6100594448. f(x_{1})\approx 0{,}0103730286,\qquad f'(x_{1})\approx -1{,}1594486367,
x_{2}\approx 0{,}6100594448-\frac{0{,}0103730286}{-1{,}1594486367}\approx 0{,}6190044438.
  1. x_{2}\approx 0{,}6190044438. f(x_{2})\approx 7{,}57\times 10^{-5},\qquad f'(x_{2})\approx -1{,}142910\\ (\text{aprox.}),
x_{3}\approx 0{,}6190044438-\frac{7{,}57\times 10^{-5}}{-1{,}14291}\approx 0{,}6190612861.
  1. x_{3}\approx 0{,}6190612861. f(x_{3})\approx -6{,}2\times 10^{-9}\\ (\text{aprox.}),
x_{4}\approx 0{,}6190612867\\ \\ (\text{diferença }|x_{4}-x_{3}|<10^{-8}).ç
  • Observação: Newton tipicamente converge muito rápido quando a derivada não é zero junto à raiz. Aqui vemos que em poucas iterações o erro cai abaixo de 10^{-8}.
  • Contagem de avaliações: cada iteração usou 1 avaliação de f e 1 de f'. Para as 4 iterações efetivas listadas (do x_{0} até x_{4} onde a condição de tolerância foi satisfeita) contabiliza-se 4 avaliações de f e 4 avaliações de f'. (Se alguém contar também a avaliação final para testar o critério, o número coincide com o da última iteração; o importante é que por iteração: 1 de f + 1 de f'.)
  • Conclusão prática: Newton convergiu em 4 iterações, com 4 avaliações de f e 4 avaliações de f'.
Didática curta: Newton é quadrático quando próximo da raiz — isso explica a queda muito rápida do erro.

Passo 5

Método da secante — teoria, aplicação e contagem (é o método pedido com x_{0}=0, x_{1}=1):
  • Ideia: aproxima a derivada por uma diferença dividida entre os dois últimos pontos; a iteração é
x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.
  • Vantagem: não requer f' (apenas avaliações de f), normalmente convergência superlinear (ordem \approx 1{,}618), mais rápida que bissecção mas menos que Newton (quando este pode usar derivada).
  • Dados iniciais: x_{0}=0,\qquad f(x_{0})=1; \qquad x_{1}=1,\qquad f(x_{1})=e-3\approx -0{,}281718171540955.
  • Iterações (mostradas com aproximações suficientes):
    1. Com x_{0}=0, x_{1}=1: x_{2}=1 - \frac{f(1)(1-0)}{f(1)-f(0)} =1 - \frac{-0{,}281718171540955}{-0{,}281718171540955 - 1} \approx 0{,}780270965.Avaliações de f até aqui: já tínhamos f(x_{0}) e f(x_{1}) (2 avaliações). Precisamos agora de f(x_{2}) (terceira avaliação).
    2. Usando x_{1} e x_{2} obtemos x_{3}\approx 0{,}633187\\ (\text{aprox.}).(Avaliação adicional de f em x_{3}.)
    3. Próxima iteração: x_{4}\approx 0{,}619566\\ (\text{aprox.}).
    4. Próxima iteração: x_{5}\approx 0{,}6190612867\\ (\text{aprox.}),e nesta etapa |x_{5}-x_{4}|<10^{-8} (critério satisfeito).
  • Contagem de avaliações de f: no método da secante, começa-se com 2 avaliações (em x_{0} e x_{1}). A cada nova iteração é necessário avaliar f no novo ponto x_{k+1} (1 avaliação por iteração). Se foram necessárias 4 iterações efetivas para chegar a x_{5} (ou seja, calcular x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}), o total de avaliações de f é 2 + 4 = 6. (Isso é consistente com: avaliar f em x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5} — 6 avaliações.)
  • Conclusão prática: secante convergiu em 4 iterações (produzindo x_{5} como primeira aproximação com diferença <10^{-8}), com 6 avaliações de f no total e sem avaliação de f'.
Observação didática curta: a secante geralmente usa menos avaliações de função que Newton (pois Newton exige f' por iteração), mas pode precisar de mais iterações. Aqui, por não precisar de f', o custo em avaliações de função ficou baixo.

Passo 6

Resumo dos resultados, interpretação e tabela comparativa:
  • Todos os métodos encontraram (ou garantiram) uma aproximação da raiz no intervalo [0,1].
  • Aproximação final da raiz (valor comum obtido pelas iterações acima, mostrado com precisão compatível com \varepsilon):
x^{*}\approx 0{,}6190612867\quad(\text{erro } \le 10^{-8}).
  • Contagens resumidas (conforme raciocínio explicado nos passos anteriores):
    • Bissecção:
      • Iterações: 27.
      • Avaliações de f: 29 (2 iniciais + 27).
      • Avaliações de f': 0.
    • Newton–Raphson (com x_{0}=0{,}5):
      • Iterações: 4.
      • Avaliações de f: 4.
      • Avaliações de f': 4.
    • Secante (com x_{0}=0, x_{1}=1):
      • Iterações: 4 (produzindo x_{5} como aproximação final).
      • Avaliações de f: 6 (avaliou-se f em x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}).
      • Avaliações de f': 0.
Tabela comparativa (linhas: método / iterações / avaliações de f / avaliações de f'):
Método Iterações n Avaliações de f Avaliações de f'
Bissecção 27 29 0
Newton–Raphson ( x_{0}=0{,}5) 4 4 4
Secante ( x_{0}=0,\\ x_{1}=1) 4 6 0
Breve comentário sobre a tabela (didático e motivacional): a bissecção garante convergência mas é lenta (muitas iterações). Newton converge muito rápido em poucas iterações, mas precisa de derivada (custo por iteração maior se a derivada for cara). A secante não usa derivada e costuma ter bom desempenho prático: aqui foi um bom compromisso — poucas iterações e poucas avaliações de f. Se estiver fazendo prova, se puder computar f' facilmente e o chute for razoável, Newton é imbatível em rapidez; se não tiver f', use secante; se só houver garantia de mudança de sinal e quiser robustez, use bissecção.

Resposta

x^{*}\approx 0{,}6190612867
Bissecção: 27 iterações, 29 avaliações de f, 0 avaliações de f'
Newton–Raphson (com x_{0}=0{,}5): 4 iterações, 4 avaliações de f, 4 avaliações de f'
Secante (com x_{0}=0,\\ x_{1}=1): 4 iterações, 6 avaliações de f, 0 avaliações de f'

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