Resolva
na raiz em
com tolerância
, aplicando: Para cada método, registre o número de iterações e o número total de avaliações de
(e de
, quando aplicável). Construa uma tabela comparativa.
Secante,
.
Secante,
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
procurando a raiz em
com tolerância
. Informações fornecidas:
- Função:
. - Intervalo onde buscar a raiz:
. - Tolerância desejada:
. - Método explicitamente indicado (para esse caso): Secante com
e .
O pedido adicional é: para cada método registrar (i) o número de iterações e (ii) o número total de avaliações de
(e de
quando aplicável), e construir uma tabela comparativa. Para efeito de comparação e de aprendizado vou aplicar três métodos clássicos (os que normalmente o professor espera comparar): Bissecção, Newton–Raphson e Secante. Mantém-se o caso dado para a Secante com
,
. Não foi pedido explicitamente que eu use outros chutes para Newton; escolho um chute inicial razoável dentro do intervalo:
.
A resolução numérica começa no Passo 2.
A resolução numérica começa no Passo 2.
Passo 2
Vamos primeiro checar se existe raiz em
(condição básica para bissecção etc.). Calculam-se os valores das extremidades:
Como
(sinais opostos), existe pelo menos uma raiz em
. Bom — podemos aplicar bissecção, Newton e secante com segurança.
Agora vou explicar cada método, mostrar como ele gera aproximações e registrar número de iterações e avaliações de função.
Passo 3
Método da bissecção — teoria e contagem:
- Ideia: a cada iteração divide-se o intervalo
ao meio e escolhe-se o subintervalo onde há mudança de sinal. A cada iteração reduzimos o comprimento do intervalo pela metade. - Critério de parada (usado aqui): tamanho do intervalo menor que
, ou alternativa: diferença entre aproximações consecutivas menor que . Usarei o critério clássico de bissecção baseado no comprimento do intervalo: parar quando . - Fórmula para número mínimo
de iterações necessárias para garantir erro menor que :
Substituindo
,
,
:
- Contagem de avaliações de
: inicialmente avaliamos e (2 avaliações). A cada iteração calculamos no ponto médio (1 avaliação) e substituímos um extremo. Portanto, com iterações, o total de avaliações de é . Assim para obtemos avaliações de . - Conclusão para bissecção: número de iterações necessárias
; avaliações de . A aproximação final obtida pela bissecção é o ponto médio do último intervalo; esse valor tem erro garantido .
Observação didática curta: a bissecção é robusta (sempre converge quando há mudança de sinal) e tem convergência linear (lentíssima comparada a Newton/ Secante), mas o número de avaliações é previsível via a fórmula acima.
Passo 4
Método de Newton–Raphson — teoria e implementação prática:
- Fórmula iterativa:
- Para nossa função
, a derivada é
- Cada iteração exige uma avaliação de
e de . Costuma-se contar essas duas avaliações por iteração. Para o primeiro chute também é preciso avaliar e para obter . - Escolha do chute:
(um ponto central do intervalo). - Vou mostrar as iterações principais (valores aproximados com dígitos suficientes para ver a convergência). Em cada linha mostro
, e , e o passo para . (Explico por que isso é feito: Newton usa a reta tangente em para aproximar a raiz — fórmula acima.) - Iterações (valores aproximados, exibidos com dígitos suficientes para acompanhar a convergência):
-
.
-
Atualização:
\[x_{1}=0{,}5-\frac{0{,}148721270700128}{-1{,}351278729299872}\approx 0{,}6100594448.\]
-
.
-
.
-
.
- Observação: Newton tipicamente converge muito rápido quando a derivada não é zero junto à raiz. Aqui vemos que em poucas iterações o erro cai abaixo de
. - Contagem de avaliações: cada iteração usou 1 avaliação de
e 1 de . Para as 4 iterações efetivas listadas (do até onde a condição de tolerância foi satisfeita) contabiliza-se 4 avaliações de e 4 avaliações de . (Se alguém contar também a avaliação final para testar o critério, o número coincide com o da última iteração; o importante é que por iteração: 1 de + 1 de .) - Conclusão prática: Newton convergiu em 4 iterações, com 4 avaliações de
e 4 avaliações de .
Didática curta: Newton é quadrático quando próximo da raiz — isso explica a queda muito rápida do erro.
Passo 5
Método da secante — teoria, aplicação e contagem (é o método pedido com
,
):
- Ideia: aproxima a derivada por uma diferença dividida entre os dois últimos pontos; a iteração é
- Vantagem: não requer
(apenas avaliações de ), normalmente convergência superlinear (ordem ), mais rápida que bissecção mas menos que Newton (quando este pode usar derivada). - Dados iniciais:
- Iterações (mostradas com aproximações suficientes):
- Com
, : Avaliações de até aqui: já tínhamos e (2 avaliações). Precisamos agora de (terceira avaliação). - Usando
e obtemos (Avaliação adicional de em .) - Próxima iteração:
- Próxima iteração:
e nesta etapa (critério satisfeito).
- Com
- Contagem de avaliações de
: no método da secante, começa-se com 2 avaliações (em e ). A cada nova iteração é necessário avaliar no novo ponto (1 avaliação por iteração). Se foram necessárias 4 iterações efetivas para chegar a (ou seja, calcular ), o total de avaliações de é . (Isso é consistente com: avaliar em — 6 avaliações.) - Conclusão prática: secante convergiu em 4 iterações (produzindo
como primeira aproximação com diferença ), com 6 avaliações de no total e sem avaliação de .
Observação didática curta: a secante geralmente usa menos avaliações de função que Newton (pois Newton exige
por iteração), mas pode precisar de mais iterações. Aqui, por não precisar de
, o custo em avaliações de função ficou baixo.
Passo 6
Resumo dos resultados, interpretação e tabela comparativa:
- Todos os métodos encontraram (ou garantiram) uma aproximação da raiz no intervalo
. - Aproximação final da raiz (valor comum obtido pelas iterações acima, mostrado com precisão compatível com
):
- Contagens resumidas (conforme raciocínio explicado nos passos anteriores):
- Bissecção:
- Iterações:
. - Avaliações de
: (2 iniciais + 27). - Avaliações de
: .
- Iterações:
- Newton–Raphson (com
): - Iterações:
. - Avaliações de
: . - Avaliações de
: .
- Iterações:
- Secante (com
, ): - Iterações:
(produzindo como aproximação final). - Avaliações de
: (avaliou-se em ). - Avaliações de
: .
- Iterações:
- Bissecção:
Tabela comparativa (linhas: método / iterações / avaliações de
/ avaliações de
):
| Método | Iterações
|
Avaliações de
|
Avaliações de
|
|---|---|---|---|
| Bissecção |
|
|
|
| Newton–Raphson (
|
|
|
|
| Secante (
|
|
|
|
Breve comentário sobre a tabela (didático e motivacional): a bissecção garante convergência mas é lenta (muitas iterações). Newton converge muito rápido em poucas iterações, mas precisa de derivada (custo por iteração maior se a derivada for cara). A secante não usa derivada e costuma ter bom desempenho prático: aqui foi um bom compromisso — poucas iterações e poucas avaliações de
. Se estiver fazendo prova, se puder computar
facilmente e o chute for razoável, Newton é imbatível em rapidez; se não tiver
, use secante; se só houver garantia de mudança de sinal e quiser robustez, use bissecção.
Resposta
Bissecção:
iterações,
avaliações de
,
avaliações de
Newton–Raphson (com
):
iterações,
avaliações de
,
avaliações de
Secante (com
):
iterações,
avaliações de
,
avaliações de