Verifique qual(is) da(s) sequências abaixo é (são) solução (ões) da recorrência linear de 1{ }^{\text {a }} ordem 2 x_{n+1}-x_{n}=2 n+9 e x_{1}=7 :
(i) \quad x_{n}=9-n
(ii) \quad x_{n}=10 n-3
(iii) x_{n}=2 n+5
(iv) \quad x_{n}=\frac{15-n}{2}

Passo 1

O enunciado dá a recorrência linear de primeira ordem
2x_{n+1}-x_n = 2n + 9
com a condição inicial x_1 = 7. O objetivo é ver quais das sequências propostas satisfazem simultaneamente essa relação de recorrência e o valor inicial. Vamos resolver a recorrência de modo geral e depois comparar com as opções.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução geral da parte homogênea
2x_{n+1}^{(h)} - x_n^{(h)} = 0.
Assumindo x_n^{(h)} = r^n, temos
2r - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \tfrac12.
Logo
x_n^{(h)} = C\bigl(\tfrac12\bigr)^n.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma x_n^{(p)} = an + b. Substituindo em
2x_{n+1}^{(p)} - x_n^{(p)} = 2n + 9
obtemos
2\bigl[a(n+1)+b\bigr] - (an+b) = 2an + 2a + 2b - an - b = an + (2a+b).
Igualando a 2n+9, vem
a = 2, \quad 2a + b = 9 \;\Longrightarrow\; b = 5.
Portanto
x_n^{(p)} = 2n + 5.

Passo 4

A solução geral da recorrência é
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = C\bigl(\tfrac12\bigr)^n + 2n + 5.
Usando x_1=7 obtemos
C\bigl(\tfrac12\bigr)^1 + 2\cdot1 + 5 = 7 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac C2 + 7 = 7 \quad\Longrightarrow\quad C = 0.
Logo a solução única é
x_n = 2n + 5.

Passo 5

Comparando com as opções, só a sequência
x_n = 2n + 5
corresponde à alternativa (iii).

Resposta

(iii) x_n = 2n + 5

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