Resolva as seguintes recorrências lineares de 1^{\mathrm{a}} ordem.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}=5 \\\ x_{n+1}=10 x_{n}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a recorrência de 1ª ordem
x_{1}=5,\qquad x_{n+1}=10\,x_{n},
ou seja, queremos resolver uma sequência geométrica de razão constante. Para isso vamos usar o fato de que, em geral, se cada termo é obtido multiplicando o anterior por r, então
x_{n} = A\cdot r^{\,n-1},
onde A é determinado pela condição inicial.

Passo 2

Perceba que
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = 10,
portanto a razão da sequência é r=10. Logo a forma geral da solução é
x_{n} = A\cdot 10^{\,n-1}.

Passo 3

Para encontrar A, usamos a condição inicial x_{1}=5. Substituindo n=1 em
x_{n} = A\cdot 10^{\,n-1},
temos
x_{1} = A\cdot 10^{0} = A = 5.

Passo 4

Substituindo A=5 na forma geral, concluímos que
x_{n} = 5\cdot 10^{\,n-1}.

Resposta

x_{n} = 5 \cdot 10^{\,n-1}.

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