1. Uma tubulação de 40 km de comprimento transporta petróleo a uma vazão de 4000 barris por dia. A queda de pressão resultante é 3,45 \times 106 Pa . Se uma tubulação paralela de mesmo tamanho for colocada ao longo dos últimos 18 km da primeira tubulação, qual será a nova capacidade dessa rede? O escoamento em ambos os casos é laminar e a queda de pressão permanece 3,45 \times 106 \mathrm{~Pa}. (DICA: Ver exemplo 1 cap 8 do Welty).

Passo 1

O enunciado trata de escoamento laminar em tubo único de comprimento total L_0 = 40 km, vazão inicial Q_0 = 4000 barris/dia e queda de pressão \Delta p_0 = 3{,}45\times10^6 Pa. Como o escoamento é laminar, a queda de pressão satisfaz a lei de Hagen–Poiseuille simplificada, ou seja
\Delta p \propto L\,Q.
Na nova rede, os últimos L_2=18 km passam a ter dois tubos paralelos (mesmo diâmetro), e os primeiros L_1=40-18=22 km continuam como um único tubo. A queda total \Delta p_0 se mantém.

Passo 2

Vamos definir constante de proporcionalidade k tal que
\Delta p = k\,L\,Q.
Para o caso inicial temos
k = \frac{\Delta p_0}{L_0\,Q_0} =\frac{3{,}45\times10^{6}}{40\times4000} =\frac{3{,}45\times10^{6}}{160000} \approx21{,}5625\;\mathrm{Pa/(km\cdot barris/dia)}.

Passo 3

Na configuração nova, a vazão total Q_{\rm new} percorre primeiro L_1=22 km num único tubo e depois se divide igualmente em dois tubos nos L_2=18 km finais. Logo a queda total é
\Delta p_0 = k\bigl(L_1\,Q_{\rm new} + L_2\,(Q_{\rm new}/2)\bigr).

Passo 4

Substituindo \Delta p_0 = k\,L_0\,Q_0 e dividindo ambos os lados por k, obtemos
L_0\,Q_0 = L_1\,Q_{\rm new} + \tfrac{L_2}{2}\,Q_{\rm new} =\bigl(L_1 + \tfrac{L_2}{2}\bigr)Q_{\rm new}.
Portanto
Q_{\rm new} =\frac{L_0\,Q_0}{\,L_1 + \tfrac{L_2}{2}\,} =\frac{40\cdot4000}{22 + \tfrac{18}{2}} =\frac{160000}{22+9} =\frac{160000}{31} \approx5161{,}3\;\text{barris/dia}.

Resposta

A capacidade da rede passa a ser aproximadamente 5160 barris por dia.

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