Seja A=(cccc1 & 1 & -2 & 0 1 & 2 & -2 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1).
Determine uma base e as respectivas dimensões para o espaço linha de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base e a dimensão do espaço linha da matriz A . O espaço linha é formado por todas as combinações lineares das linhas da matriz. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com operações de linha para simplificar a matriz e identificar quais linhas são essenciais para formar a base.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A :
A = 1 & 1 & -2 & 0 1 & 2 & -2 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada por linhas, ou seja, simplificar para identificar quais linhas são independentes.

Passo 3

Vamos começar subtraindo a primeira linha da segunda para eliminar o primeiro elemento da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
Isso resulta em:
A = 1 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & -2 & 4 & -2 0 & 1 & 1 & 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o segundo elemento da terceira e quarta linhas usando a segunda linha. Primeiro, multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira:
Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 2
E subtraímos a segunda linha da quarta:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 2
Assim, a matriz fica:
A = 1 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 1 & 0

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais. Dividimos a terceira linha por 4 para facilitar:
Linha 3 = 14 times Linha 3
Então:
A = 1 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0

Passo 6

Perceba que a quarta linha é igual à terceira. Podemos eliminar a quarta linha, já que ela não traz informação nova:
A = 1 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0
Agora, temos nossa matriz em forma escalonada, e podemos ver quais linhas são independentes.

Passo 7

As linhas não nulas da matriz escalonada são:
1 & 1 & -2 & 0 , 0 & 1 & 0 & 1 , 0 & 0 & 1 & 0
Essas linhas formam a base do espaço linha de A .

Resposta

Uma base para o espaço linha de A é formada pelas seguintes linhas:
1 & 1 & -2 & 0 , 0 & 1 & 0 & 1 , 0 & 0 & 1 & 0
A dimensão do espaço linha de A é 3.

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