Sempre justifique a sua resposta nos itens abaixo. Resposta sem justificativa será anulada.
Sendo a uma constante, calcule \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
x_n = \Bigl(1+\frac{a}{n}\Bigr)^{n}
quando n\to\infty, sendo a uma constante. O conteúdo é limites de sequência envolvendo exponencial, e vamos usar a técnica de logaritmo para transformar potência em produto, além do fato de que
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 2

Defina L=\lim_{n\to\infty}x_n. Como x_n>0 para n grande, podemos considerar
\ln x_n = n\,\ln\Bigl(1+\frac{a}{n}\Bigr).
Calculamos o limite desse logaritmo usando
\lim_{n\to\infty}n\,\ln\Bigl(1+\frac{a}{n}\Bigr) =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\bigl(1+\frac{a}{n}\bigr)}{\frac{1}{n}}\;.
Como \frac{a}{n}\to0, aplica-se \lim_{y\to0}\frac{\ln(1+y)}{y}=1 com y=\frac{a}{n}, obtendo
\lim_{n\to\infty}n\,\ln\Bigl(1+\frac{a}{n}\Bigr) =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+y)}{y}\;a =1\cdot a =a.

Passo 3

Logo
\lim_{n\to\infty}\ln x_n = a.
Como a função exponencial é contínua, obtemos
L = \lim_{n\to\infty}x_n =\lim_{n\to\infty}e^{\ln x_n} =e^a.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{a}{n}\Bigr)^{n} = e^{a}.

Exercícios relacionados