Resolva a seguinte equação diferencial ordinária através do método dos coeficientes indeterminados:
m d^2d t^2 y(t)+b dd t y(t)+k y(t)=F0 E(t)
onde 0<b^2<4 m k, E(t)=cos (gamma t) e F0 e gamma são constantes não negativas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
m d^2dt^2 y(t) + b ddt y(t) + k y(t) = F0 cos(gamma t)
Aqui, m, b, k, F0 e gamma são constantes, e a função E(t) é um cosseno. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, a equação sem o termo do lado direito:
m d^2dt^2 y(t) + b ddt y(t) + k y(t) = 0
Para resolver isso, vamos achar as raízes da equação característica associada:
m r^2 + b r + k = 0
Essa é uma equação quadrática em r. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4 m k2 m
Como foi dado que 0 < b^2 < 4 m k, o discriminante b^2 - 4 m k é negativo. Isso significa que as raízes são complexas conjugadas. Vamos escrever as raízes como:
r = alpha pm i beta
Onde:
alpha = -b2 m e beta = raiz4 m k - b^22 m

Passo 3

Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
yh(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp(t)) para a equação completa. Como o termo da direita é F0 cos(gamma t), vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp(t) = A cos(gamma t) + B sin(gamma t)
Onde A e B são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp(t):
ddt yp(t) = -A gamma sin(gamma t) + B gamma cos(gamma t)
d^2dt^2 yp(t) = -A gamma^2 cos(gamma t) - B gamma^2 sin(gamma t)
Agora, substituímos yp(t) e suas derivadas na equação original:
m (-A gamma^2 cos(gamma t) - B gamma^2 sin(gamma t)) + b (-A gamma sin(gamma t) + B gamma cos(gamma t)) + k (A cos(gamma t) + B sin(gamma t)) = F0 cos(gamma t)

Passo 6

Agrupando os termos de cos(gamma t) e sin(gamma t):
[ -m A gamma^2 + b B gamma + k A ] cos(gamma t) + [ -m B gamma^2 - b A gamma + k B ] sin(gamma t) = F0 cos(gamma t)
Para que essa igualdade seja válida para todo t, os coeficientes de cos(gamma t) e sin(gamma t) devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o sistema de equações:
-m A gamma^2 + b B gamma + k A = F0
-m B gamma^2 - b A gamma + k B = 0

Passo 7

Vamos resolver esse sistema para encontrar A e B.
Primeiro, reorganizamos a primeira equação:
A (k - m gamma^2) + B (b gamma) = F0
E a segunda equação:
A (-b gamma) + B (k - m gamma^2) = 0
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como substituição ou determinação de determinante.
Vamos calcular A:
Da segunda equação:
A = B (k - m gamma^2)b gamma
Substituindo na primeira equação:
( B (k - m gamma^2)b gamma ) (k - m gamma^2) + B (b gamma) = F0
Simplificando:
B ( (k - m gamma^2)^2b gamma + b gamma ) = F0
B ( (k - m gamma^2)^2 + (b gamma)^2b gamma ) = F0
Então:
B = F0 b gamma(k - m gamma^2)^2 + (b gamma)^2
E substituindo B na expressão para A:
A = B (k - m gamma^2)b gamma = F0 b gamma (k - m gamma^2)b gamma [ (k - m gamma^2)^2 + (b gamma)^2 ] = F0 (k - m gamma^2)(k - m gamma^2)^2 + (b gamma)^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^-b2m t ( C1 cos(raiz4mk - b^22m t) + C2 sin(raiz4mk - b^22m t) ) + F0 (k - m gamma^2) cos(gamma t) + F0 b gamma sin(gamma t)(k - m gamma^2)^2 + (b gamma)^2

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