Resolva a seguinte equação diferencial ordinária através do método dos coeficientes indeterminados:
onde
e
e
são constantes não negativas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui,
,
,
,
e
são constantes, e a função
é um cosseno. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, a equação sem o termo do lado direito:
Para resolver isso, vamos achar as raízes da equação característica associada:
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Como foi dado que
, o discriminante
é negativo. Isso significa que as raízes são complexas conjugadas. Vamos escrever as raízes como:
Onde:
Passo 3
Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. Como o termo da direita é
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação original:
Passo 6
Agrupando os termos de
e
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Primeiro, reorganizamos a primeira equação:
E a segunda equação:
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como substituição ou determinação de determinante.
Vamos calcular
:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Então:
E substituindo
na expressão para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: