Responda os itens a seguir:
Determine o resto da divisão de:
i.
por 17;
ii.
por 31;
iii.
por 29.
Determine o resto da divisão de:
i.
ii.
iii.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o resto da divisão de três expressões diferentes usando conceitos de Matemática, mais especificamente de aritmética modular. Para isso, vamos usar propriedades de potências e restos, que nos ajudam a simplificar cálculos grandes. Vamos lá!
Passo 2
Item i: Determinar o resto da divisão de
por 17
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o resto da divisão de
por 17. Basicamente, queremos saber qual número sobra quando
é dividido por 17.
Para resolver isso sem calcular
direto (o que é bem grande!), podemos usar o Teorema de Fermat, que diz que se p é um número primo e a é um número que não é múltiplo de p, então:
Aqui, 17 é primo e 7 não é múltiplo de 17, então:
Agora, vamos escrever 1000 como múltiplo de 16 mais um resto:
Então:
Usando o teorema:
Portanto:
Vamos calcular
:
Passo 3
Item ii: Determinar o resto da divisão de
por 31
Vamos seguir um caminho parecido. Primeiro, 31 é primo e 5 não é múltiplo de 31. Usando o Teorema de Fermat:
Agora, dividimos 1233 por 30:
Então:
Aplicando o teorema:
Portanto:
Calculando
:
Passo 4
Item iii: Determinar o resto da divisão de
por 29
Primeiro, vamos calcular
.
Usando o Teorema de Fermat com p=29:
Dividindo 86 por 28:
Então:
Calculando
:
16^{86} + 35 \equiv 24 + 35 \ (mod \ 29)
59 \div 29 = 2 ) com resto 1
Resposta
i. O resto é 16.
ii. O resto é 1.
iii. O resto é 1.