Resolva a seguinte integral tripla:

\int_{-4}^{\frac{19}{6}} \int_{\frac{3 x}{2}-\frac{11}{4}}^{2} \int_{6}^{\frac{1}{2}+3 x-2 y} y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{x=-4}^{19/6}\int_{y=\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4}}^{2}\int_{z=6}^{\,\tfrac12+3x-2y}y\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é integração iterada numa região descrita em coordenadas cartesianas. Vamos integrar primeiro em z, depois em y e, por fim, em x.

Passo 2

Integramos em z, mantendo y e x fixos. Como o integrando é y, temos
\int_{z=6}^{\,\tfrac12+3x-2y}y\,dz = y\bigl[(\tfrac12+3x-2y)-6\bigr] = y\bigl(3x-2y-\tfrac{11}{2}\bigr).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{x=-4}^{19/6}\int_{y=\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4}}^{2}y\bigl(3x-2y-\tfrac{11}{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Expandimos o integrando em y:
y\bigl(3x-2y-\tfrac{11}{2}\bigr) =3x\,y-2y^2-\tfrac{11}{2}y.
Agora integramos em y:
\int\bigl(3x\,y-2y^2-\tfrac{11}{2}y\bigr)dy =\frac{3x}{2}y^2-\frac{2}{3}y^3-\frac{11}{4}y^2 =\Bigl(\frac{3x}{2}-\frac{11}{4}\Bigr)y^2-\frac{2}{3}y^3.
Chamando t=\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4}, o valor da primitiva em y é
F(y) =t\,y^2-\tfrac{2}{3}y^3.
Avaliamos de y=t até y=2. Note que t=\frac{6x-11}{4}.

Passo 4

Primeiro calculemos
F(2) =\bigl(\tfrac{3x}{2}-\tfrac{11}{4}\bigr)\!2^2 -\tfrac{2}{3}\,2^3 =(6x-11)-\tfrac{16}{3} =6x-\tfrac{49}{3}.
Em seguida
F\bigl(t\bigr) =t^3-\tfrac{2}{3}t^3 =\tfrac{1}{3}t^3 =\frac{(6x-11)^3}{192}.
Logo a integral dupla em y e z vira
\int_{x=-4}^{19/6}\Bigl(6x-\tfrac{49}{3}-\frac{(6x-11)^3}{192}\Bigr)dx.

Passo 5

Integramos termo a termo em x. Uma primitiva é
3x^2-\frac{49}{3}x -\int\frac{(6x-11)^3}{192}dx =3x^2-\frac{49}{3}x -\frac{(6x-11)^4}{4608}.
Chamemos essa primitiva de
G(x) =3x^2-\frac{49}{3}x-\frac{(6x-11)^4}{4608}.

Passo 6

Avaliamo-la nos limites x=19/6 e x=-4:
  1. Em x=19/6:
3\bigl(\tfrac{19}{6}\bigr)^2-\frac{49}{3}\,\tfrac{19}{6} =-\frac{779}{36}, \quad (6x-11)\Big|_{19/6}=8 \;\Longrightarrow\; -\frac{8^4}{4608}=-\frac{8}{9},
totalizando
G(19/6)=-\frac{779}{36}-\frac{8}{9} =-\frac{811}{36}.
  1. Em x=-4:
3(-4)^2-\frac{49}{3}(-4)=48+\frac{196}{3}=\frac{340}{3}, \quad (6x-11)\Big|_{-4}=-35 \;\Longrightarrow\; -\frac{(-35)^4}{4608} =-\frac{1500625}{4608},
totalizando
G(-4)=\frac{340}{3}-\frac{1500625}{4608} =-\frac{978385}{4608}.
Subtraindo,
\int_{-4}^{19/6}\cdots dx =G(19/6)-G(-4) =-\frac{811}{36} +\frac{978385}{4608} =\frac{874577}{4608}.

Resposta

\frac{874577}{4608}.

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