Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + y' - 2 y = 0
Além disso, temos condições iniciais:
y(0) = 1 e y'(0) = 1
Aqui, vamos precisar usar o método das equações características para encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica usando substituição. Chamamos y = e^rt, onde r é uma constante que precisamos encontrar. Derivando isso, temos:
y' = r e^rt e y'' = r^2 e^rt
Substituindo na equação original:
r^2 e^rt + r e^rt - 2 e^rt = 0
Podemos fatorar e^rt (que nunca é zero):
e^rt (r^2 + r - 2) = 0
Então, a gente resolve a equação característica:
r^2 + r - 2 = 0
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática r^2 + r - 2 = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = 1 e c = -2. Substituindo:
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, temos duas soluções para r:
r1 = 1 e r2 = -2
Passo 4
Com as raízes r1 = 1 e r2 = -2, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-2t
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = 1. Substituindo t = 0 na solução geral:
1 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 1 = C1 + C2
Então, temos a primeira equação:
C1 + C2 = 1 (Equação 1) çã
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição inicial y'(0) = 1. Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
y'(t) = C1 e^t - 2 C2 e^-2t
Substituindo t = 0:
1 = C1 e^0 - 2 C2 e^0 Rightarrow 1 = C1 - 2 C2
Então, temos a segunda equação:
C1 - 2 C2 = 1 (Equação 2) çã
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema de equações com Equação 1 e Equação 2: