Use transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver equações algébricas resultantes.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo:
Passo 3
Simplificamos a equação resultante:
Juntando os termos com $ Y(s) $:
Passo 4
Isolamos $ Y(s) $:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador quadrático $ s^2 + 2 s + 2 $. Completando o quadrado:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, fazemos uma fração parcial para simplificar:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa:
Portanto:
Fatorando $ e^{-t} $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: