Use transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial
y^prime prime+2 y^prime+2 y=e^-t, y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
y'' + 2 y' + 2 y = e^-t, y(0) = 0, y'(0) = 1
Vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver equações algébricas resultantes.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Le^-t = 1s + 1
Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' + 2 Ly' + 2 Ly = Le^-t
Substituindo:
(s^2 Y(s) - s cdot 0 - 1) + 2 (s Y(s) - 0) + 2 Y(s) = 1s + 1

Passo 3

Simplificamos a equação resultante:
s^2 Y(s) - 1 + 2 s Y(s) + 2 Y(s) = 1s + 1
Juntando os termos com $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 4

Isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Y(s) (s^2 + 2 s + 2) = 1s + 1 + 1
Vamos simplificar o numerador:
Y(s) = 1s + 1 + 1s^2 + 2 s + 2
Então:
1s + 1 + 1 = 1 + s + 1s + 1 = s + 2s + 1

Passo 5

Vamos fatorar o denominador quadrático $ s^2 + 2 s + 2 $. Completando o quadrado:
s^2 + 2 s + 2
Então, a expressão fica:
s^2 + 2 s + 2 = (s + 1)^2 + 1

Passo 6

Agora, fazemos uma fração parcial para simplificar:
s + 2(s + 1)((s + 1)^2 + 1) = As + 1 + B (s + 1) + C(s + 1)^2 + 1
Multiplicamos ambos os lados por (s + 1)((s + 1)^2 + 1):
s + 2 = A((s + 1)^2 + 1) + (B (s + 1) + C)(s + 1)
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos:
A = 1, B = 0, C = 1
Então:
Y(s) = 1s + 1 + 1(s + 1)^2 + 1

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa:
L^-11s + 1 = e^-t
L^-11(s + 1)^2 + 1 = e^-t sin(t)
Portanto:
y(t) = e^-t + e^-t sin(t)
Fatorando $ e^{-t} $:
e^-t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^-t (1 + sin(t))

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