O que é pedido: encontrar a solução \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} usando decomposição LU com pivotamento parcial (ou seja obter matrizes P,L,U tais que PA=LU e então resolver).]
Passo 2
Rápida explicação do método (didática): a decomposição com pivotamento parcial constrói uma permutação P, uma matriz triangular inferior L com diagonal de uns e uma triangular superior U tal que
PA = LU.
O pivotamento parcial troca linhas de A para evitar divisões por números pequenos (escolhe, em cada coluna, o maior pivô em valor absoluto). Os elementos abaixo do pivô usados para eliminar são os multiplicadores que entram em L. Depois de obter L e U, resolvo primeiro
Ly = Pb
por substituição direta (forward substitution) e depois
Ux = y
por substituição retroativa (back substitution). Vou aplicar isso passo a passo ao sistema.
Vou fazer eliminação coluna a coluna com pivotamento parcial.]
Passo 4
Procuro o maior valor absoluto na coluna 1 entre as linhas 1 a 3: |2|=2, |-3|=3, |-8|=8. O maior é |-8|, que está na linha 3. Então troco a linha 1 com a linha 3 (primeiro permutação).
Após essa troca, a matriz e o vetor ficam:
Vou simplificar b^{(2)} mais adiante quando fizer a permutação completa.]
Passo 5
Agora, para eliminar na coluna 2, comparo os valores absolutos das entradas na coluna 2 nas linhas 2 e 3 (linhas abaixo do pivô atual). De A^{(2)} temos |-\tfrac{11}{8}|=\tfrac{11}{8}\approx1{,}375 e |-\tfrac{23}{4}|=\tfrac{23}{4}=5{,}75. O maior é \tfrac{23}{4} na linha 3, então troco a linha 2 com a linha 3. Quando se troca linhas depois de já ter colocado valores em L (multiplicadores da primeira coluna), é preciso também trocar as entradas correspondentes de L abaixo da primeira coluna — vou cuidar disso ao montar L.
Após a troca, a matriz fica
Agora monto a matriz L com diagonais iguais a 1 e com os multiplicadores nas posições abaixo da diagonal, respeitando as trocas de linha que fiz. Os multiplicadores originais da primeira etapa eram \tfrac{3}{8} e -\tfrac{1}{4}, mas como troquei a linha 2 com a 3 no segundo pivot, troquei também esses elementos de lugar. O resultado final é: