(2) Em cada um dos sistemas abaixo
  • Resolva por eliminação de Gauss com pivotamento parcial. Mostre todos os passos dos cálculos.
  • Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-x_{3}=-3 \\\ 6 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=2 \\\ -3 x 1+4 x 2+x 3=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para, em cada sistema, resolver por eliminação de Gauss com pivotamento parcial e mostrar todos os passos dos cálculos; depois verificar substituindo os resultados nas equações originais. O sistema dado é:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=-3\\[4pt] 6x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=2\\[4pt] -3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=1 \end{cases}
Informações relevantes do enunciado:
\text{equações: } \begin{array}{l} (1)\; x_{1}+x_{2}-x_{3}=-3,\\[4pt] (2)\; 6x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=2,\\[4pt] (3)\; -3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=1. \end{array}çõ
Tarefas explícitas: (a) aplicar eliminação de Gauss com pivotamento parcial (mostrar todos os cálculos) e (b) verificar a solução por substituição nas equações originais.]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema e explicar rapidamente a ideia que vou usar: na eliminação de Gauss transformamos o sistema em uma forma triangular superior usando operações elementares de linha. Para evitar grandes erros numéricos e tornar o processo estável, fazemos pivotamento parcial: em cada etapa (coluna) escolhemos, entre as linhas restantes, o coeficiente de maior valor absoluto como pivô e, se necessário, trocamos linhas. Ao eliminar, usamos multiplicadores
m=\frac{\text{entrada a eliminar}}{\text{pivô}}ô
e fazemos R_{\text{nova}}=R_{\text{velha}}-m\cdot R_{\text{pivô}}ô.
A matriz aumentada inicial (colocando as colunas dos coeficientes e a coluna dos termos independentes) é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & -3\\[4pt] 6 & 2 & 2 & 2\\[4pt] -3 & 4 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Primeiro passo de pivotamento (coluna 1): entre as linhas 1 a 3, os valores absolutos na coluna 1 são |1|=1,\;|6|=6,\;|{-3}|=3. O maior é 6 (linha 2), portanto trocamos a linha 1 com a linha 2 para colocar o pivô maior na posição (1,1). Faço a troca R_1 \leftrightarrow R_2. A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 1 & -1 & -3\\[4pt] -3 & 4 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora elimino as entradas abaixo do pivô a_{11}=6. Calculo os multiplicadores:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{6},\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}.
Faço as operações R_2\leftarrow R_2-m_{21}R_1 e R_3\leftarrow R_3-m_{31}R_1.
Cálculo de R_2:
\begin{array}{l} \text{coluna 1: }1-\frac{1}{6}\cdot 6=1-1=0,\\[4pt] \text{coluna 2: }1-\frac{1}{6}\cdot 2=1-\frac{2}{6}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\\[4pt] \text{coluna 3: }-1-\frac{1}{6}\cdot 2=-1-\frac{2}{6}=-1-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3},\\[4pt] \text{termo independente: }-3-\frac{1}{6}\cdot 2=-3-\frac{2}{6}=-3-\frac{1}{3}=-\frac{10}{3}. \end{array}
Cálculo de R_3 (lembre que m_{31}=-\tfrac{1}{2}, então subtrair m_{31}R_1 é somar \tfrac{1}{2}R_1):
\begin{array}{l} \text{coluna 1: }-3-\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 6=-3+3=0,\\[4pt] \text{coluna 2: }4-\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2=4+1=5,\\[4pt] \text{coluna 3: }1-\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2=1+1=2,\\[4pt] \text{termo independente: }1-\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2=1+1=2. \end{array}
A matriz após essas eliminações é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{10}{3}\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 2 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora vou pivotar na coluna 2 entre as linhas 2 e 3. Os valores absolutos em coluna 2 são |\tfrac{2}{3}|\approx 0{,}666 e |5|=5. O maior é 5 (linha 3), então faço a troca R_2\leftrightarrow R_3. A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 2\\[4pt] 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{10}{3} \end{array}\right]]

Passo 6

Elimino a entrada abaixo do pivô a_{22}=5. O multiplicador é
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{\tfrac{2}{3}}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{15}.
Faço R_3\leftarrow R_3-m_{32}R_2.
Cálculo das entradas de R_3:
\begin{array}{l} \text{coluna 2: }\tfrac{2}{3}-\frac{2}{15}\cdot 5=\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}=0,\\[6pt] \text{coluna 3: }-\tfrac{4}{3}-\frac{2}{15}\cdot 2=-\tfrac{4}{3}-\tfrac{4}{15}=-\frac{20}{15}-\frac{4}{15}=-\frac{24}{15}=-\frac{8}{5},\\[6pt] \text{termo independente: }-\tfrac{10}{3}-\frac{2}{15}\cdot 2=-\tfrac{10}{3}-\tfrac{4}{15}=-\frac{50}{15}-\frac{4}{15}=-\frac{54}{15}=-\frac{18}{5}. \end{array}
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{8}{5} & -\tfrac{18}{5} \end{array}\right]]

Passo 7

Fase de substituição retroativa (back-substitution). Da última linha temos:
-\tfrac{8}{5}x_{3}=-\tfrac{18}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar denominadores:
-8x_{3}=-18\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{-18}{-8}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}.

Passo 8

Agora usando a segunda linha ( 0\cdot x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=2):
5x_{2}+2x_{3}=2\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{2-2x_{3}}{5}.
Substituindo x_{3}=\tfrac{9}{4}:
x_{2}=\frac{2-2\cdot \tfrac{9}{4}}{5}=\frac{2-\tfrac{9}{2}}{5}=\frac{\tfrac{4}{2}-\tfrac{9}{2}}{5}=\frac{-\tfrac{5}{2}}{5}=-\frac{1}{2}.

Passo 9

Finalmente, uso a primeira linha ( 6x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=2) para achar x_{1}:
6x_{1}=2-2x_{2}-2x_{3}.
Substituindo x_{2}=-\tfrac{1}{2} e x_{3}=\tfrac{9}{4}:
6x_{1}=2-2\left(-\tfrac{1}{2}\right)-2\left(\tfrac{9}{4}\right)=2+1-\tfrac{18}{4}=3-\tfrac{9}{2}=\tfrac{6}{2}-\tfrac{9}{2}=-\tfrac{3}{2}.
Logo
x_{1}=\frac{-\tfrac{3}{2}}{6}=-\tfrac{3}{2}\cdot\frac{1}{6}=-\frac{3}{12}=-\frac{1}{4}.
Portanto a solução encontrada é
x_{1}=-\tfrac{1}{4},\qquad x_{2}=-\tfrac{1}{2},\qquad x_{3}=\tfrac{9}{4}.

Passo 10

Verificação por substituição nas equações originais:
Para \;x_{1}+x_{2}-x_{3}=-3:
-\tfrac{1}{4}+ \left(-\tfrac{1}{2}\right) - \tfrac{9}{4} = -\frac{1}{4}-\frac{2}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{12}{4}=-3.
Confere.
Para \;6x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=2:
6\left(-\tfrac{1}{4}\right)+2\left(-\tfrac{1}{2}\right)+2\left(\tfrac{9}{4}\right)=-\tfrac{6}{4}-1+\tfrac{18}{4}=-\tfrac{3}{2}-1+\tfrac{9}{2}=\tfrac{6}{2}-1=3-1=2.
Confere.
Para \;-3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=1:
-3\left(-\tfrac{1}{4}\right)+4\left(-\tfrac{1}{2}\right)+\tfrac{9}{4}=\tfrac{3}{4}-2+\tfrac{9}{4}=\tfrac{12}{4}-2=3-2=1.
Confere.
Tudo bate, solução verificada.

Resposta

x_{1}=-\tfrac{1}{4}\
x_{2}=-\tfrac{1}{2}\
x_{3}=\tfrac{9}{4}

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