Resolva por eliminação de Gauss com pivotamento parcial. Mostre todos os passos dos cálculos.
Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-x_{3}=-3 \\\ 6 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=2 \\\ -3 x 1+4 x 2+x 3=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para, em cada sistema, resolver por eliminação de Gauss com pivotamento parcial e mostrar todos os passos dos cálculos; depois verificar substituindo os resultados nas equações originais. O sistema dado é:
Tarefas explícitas: (a) aplicar eliminação de Gauss com pivotamento parcial (mostrar todos os cálculos) e (b) verificar a solução por substituição nas equações originais.]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema e explicar rapidamente a ideia que vou usar: na eliminação de Gauss transformamos o sistema em uma forma triangular superior usando operações elementares de linha. Para evitar grandes erros numéricos e tornar o processo estável, fazemos pivotamento parcial: em cada etapa (coluna) escolhemos, entre as linhas restantes, o coeficiente de maior valor absoluto como pivô e, se necessário, trocamos linhas. Ao eliminar, usamos multiplicadores
m=\frac{\text{entrada a eliminar}}{\text{pivô}}ô
e fazemos R_{\text{nova}}=R_{\text{velha}}-m\cdot R_{\text{pivô}}ô.
A matriz aumentada inicial (colocando as colunas dos coeficientes e a coluna dos termos independentes) é:
Primeiro passo de pivotamento (coluna 1): entre as linhas 1 a 3, os valores absolutos na coluna 1 são |1|=1,\;|6|=6,\;|{-3}|=3. O maior é 6 (linha 2), portanto trocamos a linha 1 com a linha 2 para colocar o pivô maior na posição (1,1). Faço a troca R_1 \leftrightarrow R_2. A matriz fica:
Agora vou pivotar na coluna 2 entre as linhas 2 e 3. Os valores absolutos em coluna 2 são |\tfrac{2}{3}|\approx 0{,}666 e |5|=5. O maior é 5 (linha 3), então faço a troca R_2\leftrightarrow R_3. A matriz fica: