O enunciado pede que eu resolva o sistema linear abaixo por eliminação de Gauss com pivotamento parcial e que depois verifique as soluções substituindo nas equações originais.
As informações dadas são as três equações do sistema:
O objetivo final é encontrar \,x_{1}\,,\,x_{2}\,,\,x_{3}\, que satisfazem essas três equações e mostrar todos os passos do método com pivotamento parcial, além de checar substituindo os valores obtidos nas equações originais.]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema. Coloco as colunas das incógnitas e a coluna dos termos independentes à direita:
Explicação curta sobre pivotamento parcial (didática): ao eliminar abaixo de uma coluna-pivô, o pivotamento parcial consiste em, para cada coluna onde estamos eliminando, trocar a linha atual pela linha que tem o maior valor absoluto na coluna entre as linhas que restam. Fazemos isso para reduzir problemas numéricos e evitar divisões por números muito pequenos. Aqui vou aplicar pivotamento parcial na coluna 1 (primeira coluna).]
Passo 3
Procuro o maior valor absoluto na coluna 1 entre as linhas 1 a 3. Os valores absolutos são |8|=8, |10|=10, |12|=12. O maior é 12 (linha 3), então troco a linha 1 com a linha 3.
Agora vou pivotar parcialmente na coluna 2 considerando apenas as linhas 2 e 3 (submatriz abaixo da primeira linha). Verifico os valores absolutos na coluna 2: \left|\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{1}{3} e \left|\tfrac{2}{3}\right|=\tfrac{2}{3}. O maior é \tfrac{2}{3} (linha 3), então troco a linha 2 com a linha 3.
Comentário didático rápido: chegamos a uma matriz triangular superior, o que significa que agora podemos resolver as incógnitas por substituição regressiva (back substitution), começando da última equação.]
Passo 7
Resolvo a partir da última equação (substituição regressiva).