(2) Em cada um dos sistemas abaixo
  • Resolva por eliminação de Gauss com pivotamento parcial. Mostre todos os passos dos cálculos.
  • Substitua seus resultados nas equações originais para verificar suas respostas.
\left\{\begin{array}{l}8 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=-2 \\\ 10 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=4 \\\ 12 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema linear abaixo por eliminação de Gauss com pivotamento parcial e que depois verifique as soluções substituindo nas equações originais.
As informações dadas são as três equações do sistema:
\begin{cases} 8x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=-2,\\[4pt] 10x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=4,\\[4pt] 12x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=6. \end{cases}
O objetivo final é encontrar \,x_{1}\,,\,x_{2}\,,\,x_{3}\, que satisfazem essas três equações e mostrar todos os passos do método com pivotamento parcial, além de checar substituindo os valores obtidos nas equações originais.]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema. Coloco as colunas das incógnitas e a coluna dos termos independentes à direita:
\left[\begin{array}{ccc|c} 8 & 2 & -2 & -2\\[4pt] 10 & 2 & 4 & 4\\[4pt] 12 & 2 & 2 & 6 \end{array}\right]
Explicação curta sobre pivotamento parcial (didática): ao eliminar abaixo de uma coluna-pivô, o pivotamento parcial consiste em, para cada coluna onde estamos eliminando, trocar a linha atual pela linha que tem o maior valor absoluto na coluna entre as linhas que restam. Fazemos isso para reduzir problemas numéricos e evitar divisões por números muito pequenos. Aqui vou aplicar pivotamento parcial na coluna 1 (primeira coluna).]

Passo 3

Procuro o maior valor absoluto na coluna 1 entre as linhas 1 a 3. Os valores absolutos são |8|=8, |10|=10, |12|=12. O maior é 12 (linha 3), então troco a linha 1 com a linha 3.
A matriz após a troca de linhas fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 12 & 2 & 2 & 6\\[4pt] 10 & 2 & 4 & 4\\[4pt] 8 & 2 & -2 & -2 \end{array}\right]
Comentário didático: essa troca não altera o sistema, apenas reordena as equações para ter um pivot mais conveniente em cima.]

Passo 4

Agora elimino os elementos abaixo do pivot em na coluna 1. Para isso uso multiplicadores m_{21} e m_{31} definidos por
m_{i1}=\frac{\text{elemento da linha }i\text{, coluna }1}{\text{pivot }a_{11}}.
Aqui \displaystyle a_{11}=12. Então
m_{21}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6},\qquad m_{31}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.
A operação de linha é, para cada i\ge2:
\text{Linha}_i \leftarrow \text{Linha}_i - m_{i1}\cdot\text{Linha}_1.
Faço as contas elemento a elemento.
Para a linha 2:
\begin{aligned} \text{coluna 1: }&10 - \frac{5}{6}\cdot 12 = 10-10=0,\\[4pt] \text{coluna 2: }&2 - \frac{5}{6}\cdot 2 = 2 - \frac{10}{6} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3}=\frac{1}{3},\\[4pt] \text{coluna 3: }&4 - \frac{5}{6}\cdot 2 = 4 - \frac{10}{6} = 4 - \frac{5}{3} = \frac{12-5}{3}=\frac{7}{3},\\[4pt] \text{termo independente: }&4 - \frac{5}{6}\cdot 6 = 4 -5 = -1. \end{aligned}
Para a linha 3:
\begin{aligned} \text{coluna 1: }&8 - \frac{2}{3}\cdot 12 = 8-8=0,\\[4pt] \text{coluna 2: }&2 - \frac{2}{3}\cdot 2 = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6-4}{3}=\frac{2}{3},\\[4pt] \text{coluna 3: }&-2 - \frac{2}{3}\cdot 2 = -2 - \frac{4}{3} = -\frac{6+4}{3}=-\frac{10}{3},\\[4pt] \text{termo independente: }&-2 - \frac{2}{3}\cdot 6 = -2 -4 = -6. \end{aligned}
A matriz após estas operações é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 12 & 2 & 2 & 6\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{7}{3} & -1\\[6pt] 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{10}{3} & -6 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora vou pivotar parcialmente na coluna 2 considerando apenas as linhas 2 e 3 (submatriz abaixo da primeira linha). Verifico os valores absolutos na coluna 2: \left|\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{1}{3} e \left|\tfrac{2}{3}\right|=\tfrac{2}{3}. O maior é \tfrac{2}{3} (linha 3), então troco a linha 2 com a linha 3.
Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 12 & 2 & 2 & 6\\[4pt] 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{10}{3} & -6\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{7}{3} & -1 \end{array}\right]
Explicação didática: trocar coloca o maior valor possível como pivot em a_{22}, facilitando a estabilidade numérica da eliminação.]

Passo 6

Elimino o elemento abaixo do novo pivot a_{22}=\tfrac{2}{3}. O multiplicador é
m_{32}=\frac{\text{elemento (3,2)}}{a_{22}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.
Faço
\text{Linha}_3 \leftarrow \text{Linha}_3 - m_{32}\cdot\text{Linha}_2.
Calculo elemento a elemento:
Para a linha 3:
\begin{aligned} \text{coluna 1: }&0 - \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 0,\\[4pt] \text{coluna 2: }&\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = 0,\\[4pt] \text{coluna 3: }&\tfrac{7}{3} - \tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{10}{3}\right)=\tfrac{7}{3} + \tfrac{5}{3}=\tfrac{12}{3}=4,\\[4pt] \text{termo independente: }&-1 - \tfrac{1}{2}\cdot(-6) = -1 +3 = 2. \end{aligned}
A matriz triangular superior resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 12 & 2 & 2 & 6\\[4pt] 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{10}{3} & -6\\[6pt] 0 & 0 & 4 & 2 \end{array}\right]
Comentário didático rápido: chegamos a uma matriz triangular superior, o que significa que agora podemos resolver as incógnitas por substituição regressiva (back substitution), começando da última equação.]

Passo 7

Resolvo a partir da última equação (substituição regressiva).
Da terceira linha temos:
4x_{3}=2.
Logo
x_{3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Agora uso a segunda linha:
\tfrac{2}{3}x_{2}-\tfrac{10}{3}x_{3}=-6.
Substituo x_{3}=\tfrac{1}{2}:
\tfrac{2}{3}x_{2}-\tfrac{10}{3}\cdot \tfrac{1}{2}=-6.
Calculo o segundo termo:
-\tfrac{10}{3}\cdot \tfrac{1}{2}=-\tfrac{10}{6}=-\tfrac{5}{3}.
Então
\tfrac{2}{3}x_{2}-\tfrac{5}{3}=-6.
Isolo \tfrac{2}{3}x_{2}:
\tfrac{2}{3}x_{2}=-6+\tfrac{5}{3}=-\tfrac{18}{3}+\tfrac{5}{3}=-\tfrac{13}{3}.
Multiplicando ambos os lados por \tfrac{3}{2} (ou resolvendo diretamente):
x_{2}=\left(-\tfrac{13}{3}\right)\cdot\frac{3}{2}=-\frac{13}{2}.
Agora uso a primeira linha:
12x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=6.
Substituo x_{2}=-\tfrac{13}{2} e x_{3}=\tfrac{1}{2}:
12x_{1}+2\cdot\left(-\tfrac{13}{2}\right)+2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)=6.
Calculo os termos:
2\cdot\left(-\tfrac{13}{2}\right)=-13,\qquad 2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)=1.
Então
12x_{1}-13+1=6\quad\Rightarrow\quad 12x_{1}-12=6.
Logo
12x_{1}=18\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}.
Portanto as soluções obtidas são
x_{1}=\frac{3}{2},\qquad x_{2}=-\frac{13}{2},\qquad x_{3}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Verificação: substituo as soluções nas três equações originais para confirmar.
Primeira equação:
8x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=8\cdot\frac{3}{2}+2\cdot\left(-\frac{13}{2}\right)-2\cdot\frac{1}{2}.
Calculo:
8\cdot\frac{3}{2}=12,\quad 2\cdot\left(-\frac{13}{2}\right)=-13,\quad -2\cdot\frac{1}{2}=-1.
Somando:
12-13-1=-2,
que coincide com o termo independente da primeira equação.
Segunda equação:
10x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=10\cdot\frac{3}{2}+2\cdot\left(-\frac{13}{2}\right)+4\cdot\frac{1}{2}.
Calculo:
10\cdot\frac{3}{2}=15,\quad 2\cdot\left(-\frac{13}{2}\right)=-13,\quad 4\cdot\frac{1}{2}=2.
Somando:
15-13+2=4,
que coincide com o termo independente da segunda equação.
Terceira equação:
12x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=12\cdot\frac{3}{2}+2\cdot\left(-\frac{13}{2}\right)+2\cdot\frac{1}{2}.
Calculo:
12\cdot\frac{3}{2}=18,\quad 2\cdot\left(-\frac{13}{2}\right)=-13,\quad 2\cdot\frac{1}{2}=1.
Somando:
18-13+1=6,
que coincide com o termo independente da terceira equação.
Todas as três verificações conferem, logo a solução está correta.

Resposta

x_{1}=\dfrac{3}{2}
x_{2}=-\dfrac{13}{2}
x_{3}=\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados