Resolva o seguinte sistema linear (note que aqui as incógnitas são x^prime e y^prime ):
l x=x^prime cos theta-y^prime sen theta y=x^prime sen theta+y^prime cos theta

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x = x' costheta - y' sintheta, y = x' sintheta + y' costheta,
onde queremos achar ,x' e y' em função de x,y,theta. O conteúdo é resolução de sistema linear 2times2, que faremos invertendo a matriz de rotação ou aplicando a regra de Cramer.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial:
costheta & -sintheta sintheta & costheta x' y' = x y
A matriz dos coeficientes é A=l[costheta&-sinthetasintheta&costhetar].

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = costhetacdotcostheta - (-sintheta)cdotsintheta = cos^2theta + sin^2theta = 1

Passo 4

Pela regra de Cramer,

Passo 5

Concluímos que a inversa da rotação de ângulo theta aplicada ao vetor (x,y) produz:
x' = xcostheta + ysintheta, y' = -,xsintheta + ycostheta

Resposta

x' = xcostheta + ysintheta, y' = -,xsintheta + ycostheta

Exercícios relacionados