Pede: resolver o sistema linear pelo método de Jacobi, usando um ponto de partida (não foi fornecido um ponto inicial no enunciado, então vou usar o ponto inicial padrão).
Matriz dos coeficientes A e vetor b (peguei estes do enunciado):
O que é o método de Jacobi e a fórmula iterativa (aula rápida, sem jargões).
Ideia do Jacobi: em cada iteração, isolamos cada incógnita x_i na sua equação (usando somente a diagonal a_{ii}) e calculamos x_i usando os valores das outras incógnitas da iteração anterior. Assim todas as componentes do novo vetor são calculadas a partir do vetor antigo (por isso é um método “desacoplado”).
Convergência: será que o Jacobi converge aqui? (explicação curta e prática)
Uma condição simples que garante convergência do Jacobi é a dominância diagonal por linhas: se |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha i, o método converge. No nosso caso eu verifiquei as somas:
linha 1: |a_{11}|=10 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=1+2+3+4=10 (igual, não estritamente dominante);
linha 3: |a_{33}|=7 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=2+1+3+5=11 (a diagonal é menor que a soma dos demais -> não dominante).
Conclusão prática: a condição simples de dominância não é satisfeita (linha 3 falha), portanto não há garantia automática de convergência via esse critério. Entretanto, a matriz é simétrica e é razoável tentar o Jacobi: é comum que o método ainda convirja mesmo sem dominância estrita. Vou aplicar o método e acompanhar a convergência (diferença entre iterações e resíduo).
Passo 4
Ponto inicial e critério de parada usado (decisão prática para a prova)
Ponto inicial escolhido: x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Critério de parada (prático para usar aqui): vou mostrar as primeiras 10 iterações para você ver o comportamento; na prova muitas vezes pede algumas iterações ou mostra que converge — se precisar de uma tolerância, pedimos \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-4}. Aqui, por limitação de tempo escrevo até a iteração k=10 e apresento o vetor aproximado obtido.
Passo 5
Cálculo da iteração k=1 (mostro as contas para fixar a ideia)
Partindo de x^{(0)}=(0,0,0,0,0)^T, aplicando as fórmulas:
Iterações seguintes (apresento os vetores até k=10).
(Para economizar espaço eu não repito cada soma — a mecânica é a mesma que nos passos anteriores.)
Observação didática: dá para ver que o método está oscilando um pouco, mas os valores vão-se ajustando. A convergência é lenta neste problema — era de esperar já que a condição de dominância diagonal estrita não foi satisfeita.
Passo 8
Verificação rápida do erro (resíduo) na iteração k=10 (como checar na prova)
Definição do resíduo: r^{(k)}=b-Ax^{(k)}. Se o resíduo for pequeno (cada componente próxima de zero), a solução aproximada é boa.
Para x^{(10)} obtive (cálculo numérico aproximado) o resíduo
Interpretação: há ainda erros da ordem de 10^{-1} em algumas componentes, portanto, se a prova exigir alta precisão convém continuar as iterações. Se na prova só pedirem 3–4 iterações ou uma demonstração de procedimento, o que fiz é suficiente para mostrar a aplicação do método.
Passo 9
Dicas práticas para a prova (resumo didático curto)
Sempre escreva as fórmulas do Jacobi isolando x_i por a_{ii} (como em Passo 2).
Escolha x^{(0)} simples (zero é comum) se o enunciado não der outro ponto.
Verifique dominância diagonal; se existir, você garante convergência teórica. Se não existir, aplique o método e monitore o resíduo ou \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty.
Para cálculos manuais na prova, 3–5 iterações bem mostradas costumam ser suficientes; para obter alta precisão, use computador.