Resolva o seguinte sistema usando os métodos indicados e usando como ponto de partida
\left(\begin{array}{ccccc} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \\\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 12 \\\\ -27 \\\\ 14 \\\\ -17 \\\\ 12 \end{array}\right)
Jacobi

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: resolver o sistema linear pelo método de Jacobi, usando um ponto de partida (não foi fornecido um ponto inicial no enunciado, então vou usar o ponto inicial padrão).
  • Matriz dos coeficientes A e vetor b (peguei estes do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}12\\\ -27\\\ 14\\\ -17\\\ 12\end{pmatrix}.
  • Escolha do ponto de partida (como não foi fornecido): vou usar o chute inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 2

O que é o método de Jacobi e a fórmula iterativa (aula rápida, sem jargões).
  • Ideia do Jacobi: em cada iteração, isolamos cada incógnita x_i na sua equação (usando somente a diagonal a_{ii}) e calculamos x_i usando os valores das outras incógnitas da iteração anterior. Assim todas as componentes do novo vetor são calculadas a partir do vetor antigo (por isso é um método “desacoplado”).
  • Fórmula geral para o elemento i:
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i-\sum_{j\ne i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Big).
Aqui:
  • a_{ii} é o elemento da diagonal da matriz A na linha i;
  • b_i é o i-ésimo elemento do vetor b;
  • x_j^{(k)} são as componentes do vetor solução aproximado na iteração k.
  • Para o nosso sistema, escrevo explicitamente as cinco fórmulas (cada linha corresponde a uma linha do sistema):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{10}\big(12 - x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)} - 3x_4^{(k)} - 4x_5^{(k)}\big),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{9}\big(-27 - x_1^{(k)} + x_3^{(k)} - 2x_4^{(k)} + 3x_5^{(k)}\big),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \frac{1}{7}\big(14 - 2x_1^{(k)} + x_2^{(k)} - 3x_4^{(k)} + 5x_5^{(k)}\big),\\[4pt] x_4^{(k+1)} &= \frac{1}{12}\big(-17 - 3x_1^{(k)} - 2x_2^{(k)} - 3x_3^{(k)} + x_5^{(k)}\big),\\[4pt] x_5^{(k+1)} &= \frac{1}{15}\big(12 - 4x_1^{(k)} + 3x_2^{(k)} + 5x_3^{(k)} + x_4^{(k)}\big). \end{aligned}]

Passo 3

Convergência: será que o Jacobi converge aqui? (explicação curta e prática)
  • Uma condição simples que garante convergência do Jacobi é a dominância diagonal por linhas: se |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha i, o método converge. No nosso caso eu verifiquei as somas:
    • linha 1: |a_{11}|=10 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=1+2+3+4=10 (igual, não estritamente dominante);
    • linha 3: |a_{33}|=7 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=2+1+3+5=11 (a diagonal é menor que a soma dos demais -> não dominante).
  • Conclusão prática: a condição simples de dominância não é satisfeita (linha 3 falha), portanto não há garantia automática de convergência via esse critério. Entretanto, a matriz é simétrica e é razoável tentar o Jacobi: é comum que o método ainda convirja mesmo sem dominância estrita. Vou aplicar o método e acompanhar a convergência (diferença entre iterações e resíduo).

Passo 4

Ponto inicial e critério de parada usado (decisão prática para a prova)
  • Ponto inicial escolhido: x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Critério de parada (prático para usar aqui): vou mostrar as primeiras 10 iterações para você ver o comportamento; na prova muitas vezes pede algumas iterações ou mostra que converge — se precisar de uma tolerância, pedimos \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-4}. Aqui, por limitação de tempo escrevo até a iteração k=10 e apresento o vetor aproximado obtido.

Passo 5

Cálculo da iteração k=1 (mostro as contas para fixar a ideia)
Partindo de x^{(0)}=(0,0,0,0,0)^T, aplicando as fórmulas:
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\frac{1}{10}\big(12-0-0-0-0\big)=\frac{12}{10}=1,2,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\frac{1}{9}\big(-27-0+0-0+0\big)=-3,\\[4pt] x_3^{(1)}&=\frac{1}{7}\big(14-0+0-0+0\big)=2,\\[4pt] x_4^{(1)}&=\frac{1}{12}\big(-17-0-0-0+0\big)=-\frac{17}{12}\approx-1,4166667,\\[4pt] x_5^{(1)}&=\frac{1}{15}\big(12-0+0+0+0\big)=\frac{12}{15}=0,8. \end{aligned}
Logo
x^{(1)}\approx\begin{pmatrix} 1,200000\\\\ -3,000000\\\\ 2,000000\\\\ -1,416667\\\\ 0,800000 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo da iteração k=2 (mostro também passo a passo para reforçar)
Usando x^{(1)} nas fórmulas:
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\frac{1}{10}\big(12-(-3)-2\cdot2-3\cdot(-1,4166667)-4\cdot0,8\big)\\\ &=\frac{1}{10}(12+3-4+4,25-3,2)=\frac{12,05}{10}=1,205,\\[4pt] x_2^{(2)}&=\frac{1}{9}\big(-27-1,2+2-2\cdot(-1,4166667)+3\cdot0,8\big)\\\ &=\frac{1}{9}(-27-1,2+2+2,8333334+2,4)=\frac{-20,9666666}{9}\approx-2,32962963,\\[4pt] x_3^{(2)}&=\frac{1}{7}\big(14-2\cdot1,2-3+ -3\cdot(-1,4166667)+5\cdot0,8\big)\\\ &=\frac{1}{7}(14-2,4-3+4,25+4)=\frac{16,85}{7}\approx2,40714286,\\[4pt] x_4^{(2)}&=\frac{1}{12}\big(-17-3\cdot1,2-2\cdot(-3)-3\cdot2+0,8\big)\\\ &=\frac{1}{12}(-17-3,6+6-6+0,8)=\frac{-19,8}{12}=-1,65,\\[4pt] x_5^{(2)}&=\frac{1}{15}\big(12-4\cdot1,2+3\cdot(-3)+5\cdot2-1,4166667\big)\\\ &=\frac{1}{15}(12-4,8-9+10-1,4166667)=\frac{6,7833333}{15}\approx0,45222222. \end{aligned}
Assim
x^{(2)}\approx\begin{pmatrix} 1,205000\\\\ -2,329630\\\\ 2,407143\\\\ -1,650000\\\\ 0,452222 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Iterações seguintes (apresento os vetores até k=10).
(Para economizar espaço eu não repito cada soma — a mecânica é a mesma que nos passos anteriores.)
  • x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,000000\\\ 0,000000\\\ 0,000000\\\ 0,000000\\\ 0,000000\end{pmatrix}
  • x^{(1)}\approx\begin{pmatrix}1,200000\\\ -3,000000\\\ 2,000000\\\ -1,416667\\\ 0,800000\end{pmatrix}
  • x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}1,205000\\\ -2,329630\\\ 2,407143\\\ -1,650000\\\ 0,452222\end{pmatrix}
  • x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}1,265646\\\ -2,349021\\\ 2,353069\\\ -1,893746\\\ 0,705122\end{pmatrix}
  • x^{(4)}\approx\begin{pmatrix}1,250363\\\ -2,223302\\\ 2,618076\\\ -1,871082\\\ 0,650797\end{pmatrix}
  • x^{(5)}\approx\begin{pmatrix}1,199721\\\ -2,215304\\\ 2,591886\\\ -1,958993\\\ 0,769863\end{pmatrix}
  • x^{(6)}\approx\begin{pmatrix}1,182906\\\ -2,153362\\\ 2,730221\\\ -1,931196\\\ 0,770376\end{pmatrix}
  • x^{(7)}\approx\begin{pmatrix}1,140500\\\ -2,142129\\\ 2,732328\\\ -1,971857\\\ 0,835213\end{pmatrix}
  • x^{(8)}\approx\begin{pmatrix}1,125219\\\ -2,106536\\\ 2,809787\\\ -1,958251\\\ 0,846759\end{pmatrix}
  • x^{(9)}\approx\begin{pmatrix}1,097468\\\ -2,095406\\\ 2,821654\\\ -1,978766\\\ 0,884680\end{pmatrix}
  • x^{(10)}\approx\begin{pmatrix}1,084968\\\ -2,073805\\\ 2,867051\\\ -1,973489\\\ 0,896894\end{pmatrix}
Observação didática: dá para ver que o método está oscilando um pouco, mas os valores vão-se ajustando. A convergência é lenta neste problema — era de esperar já que a condição de dominância diagonal estrita não foi satisfeita.

Passo 8

Verificação rápida do erro (resíduo) na iteração k=10 (como checar na prova)
  • Definição do resíduo: r^{(k)}=b-Ax^{(k)}. Se o resíduo for pequeno (cada componente próxima de zero), a solução aproximada é boa.
  • Para x^{(10)} obtive (cálculo numérico aproximado) o resíduo
r^{(10)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}17708\\\\ 0{,}08399\\\\ 0{,}09185\\\\ -0{,}12968\\\\ 0{,}34706\end{pmatrix}.
  • Interpretação: há ainda erros da ordem de 10^{-1} em algumas componentes, portanto, se a prova exigir alta precisão convém continuar as iterações. Se na prova só pedirem 3–4 iterações ou uma demonstração de procedimento, o que fiz é suficiente para mostrar a aplicação do método.

Passo 9

Dicas práticas para a prova (resumo didático curto)
  • Sempre escreva as fórmulas do Jacobi isolando x_i por a_{ii} (como em Passo 2).
  • Escolha x^{(0)} simples (zero é comum) se o enunciado não der outro ponto.
  • Verifique dominância diagonal; se existir, você garante convergência teórica. Se não existir, aplique o método e monitore o resíduo ou \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty.
  • Para cálculos manuais na prova, 3–5 iterações bem mostradas costumam ser suficientes; para obter alta precisão, use computador.

Resposta

\displaystyle x^{(10)}\approx\begin{pmatrix}1,084968\\[2pt]-2,073805\\[2pt]2,867051\\[2pt]-1,973489\\[2pt]0,896894\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados