Resolva o seguinte sistema usando os métodos indicados e usando como ponto de partida
\left(\begin{array}{ccccc} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \\\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 12 \\\\ -27 \\\\ 14 \\\\ -17 \\\\ 12 \end{array}\right)
SUR

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear na forma matricial. Vou escrever explicitamente o que foi dado e o que se pede.
  • Matriz dos coeficientes e vetor do termo independente (peguei tudo do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}12\\\ -27\\\ 14\\\ -17\\\ 12\end{pmatrix}.
  • O que se pede: encontrar o vetor \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T que satisfaz \;A\mathbf{x}=b.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem iniciar os cálculos ainda).
  • Vou usar eliminação de Gauss (eliminação escalonada) com operações elementares por linhas, fazendo a eliminação direta para obter uma matriz triangular superior e depois aplicar substituição regressiva (back-substitution).
  • Motivo da escolha: é um método direto, sistemático, e aqui podemos realizar operações inteiras (multiplicar linhas e somar) para evitar frações intermediárias grandes; isso torna a conta “fazível à mão” e didática.
  • Lembrete rápido do que é feito: usar pivôs (elementos diagonais) para zerar abaixo deles, obtendo um sistema equivalente triangular superior; então resolver de baixo para cima.

Passo 3

Eliminação do primeiro pivô ( a_{11}=10): zerar as entradas abaixo em coluna 1 com operações inteiras (multiplicando linhas para evitar frações).
Parto da matriz aumentada (A\mid b):
\begin{array}{rcl} R_1 &:& (10,\;1,\;2,\;3,\;4\mid 12)\\[2pt] R_2 &:& (1,\;9,\;-1,\;2,\;-3\mid -27)\\[2pt] R_3 &:& (2,\;-1,\;7,\;3,\;-5\mid 14)\\[2pt] R_4 &:& (3,\;2,\;3,\;12,\;-1\mid -17)\\[2pt] R_5 &:& (4,\;-3,\;-5,\;-1,\;15\mid 12) \end{array}
Usarei combinações inteiras:
  • R_2 \leftarrow 10R_2 - R_1,
  • R_3 \leftarrow 5R_3 - R_1,
  • R_4 \leftarrow 10R_4 - 3R_1,
  • R_5 \leftarrow 5R_5 - 2R_1.
Calculando cada uma (faço as contas explicitamente):
  • 10R_2 - R_1:
10R_2 = (10,90,-10,20,-30\mid -270),\quad 10R_2-R_1=(0,89,-12,17,-34\mid -282).
  • 5R_3 - R_1:
5R_3=(10,-5,35,15,-25\mid 70),\quad 5R_3-R_1=(0,-6,33,12,-29\mid 58).
  • 10R_4 - 3R_1:
10R_4=(30,20,30,120,-10\mid -170),\quad 10R_4-3R_1=(0,17,24,111,-22\mid -206).
  • 5R_5 - 2R_1:
5R_5=(20,-15,-25,-5,75\mid 60),\quad 5R_5-2R_1=(0,-17,-29,-11,67\mid 36).
Resultado após zerar coluna 1:
\begin{array}{rcl} R_1 &:& (10,\;1,\;2,\;3,\;4\mid 12)\\[2pt] R_2 &:& (0,\;89,\;-12,\;17,\;-34\mid -282)\\[2pt] R_3 &:& (0,\;-6,\;33,\;12,\;-29\mid 58)\\[2pt] R_4 &:& (0,\;17,\;24,\;111,\;-22\mid -206)\\[2pt] R_5 &:& (0,\;-17,\;-29,\;-11,\;67\mid 36) \end{array}]

Passo 4

Eliminação do segundo pivô ( a_{22}=89): zerar as entradas abaixo (coluna 2) usando combinações inteiras para evitar frações.
Queremos zerar os -6, 17 e -17 nas linhas 3,4,5. Uso multiplicadores que anulem:
  • Para R_3 (tem -6): R_3 \leftarrow 89R_3 + 6R_2.
  • Para R_4 (tem 17): R_4 \leftarrow 89R_4 - 17R_2.
  • Para R_5 (tem -17): R_5 \leftarrow 89R_5 + 17R_2.
Faço os cálculos (apenas os blocos relevantes mostrados):
  • 89R_3 + 6R_2:
89R_3=(0,-534,2937,1068,-2581\mid 5162), \quad 6R_2=(0,534,-72,102,-204\mid -1692),
89R_3+6R_2=(0,0,2865,1170,-2785\mid 3470).
  • 89R_4 -17R_2:
89R_4=(0,1513,2136,9879,-1958\mid -18334), \quad 17R_2=(0,1513,-204,289,-578\mid -4794),
89R_4-17R_2=(0,0,2340,9590,-1380\mid -13540).
  • 89R_5 +17R_2:
89R_5=(0,-1513,-2581,-979,5963\mid 3204), \quad 17R_2=(0,1513,-204,289,-578\mid -4794),
89R_5+17R_2=(0,0,-2785,-690,5385\mid -1590).
Agora a matriz aumentada é triangular até a coluna 3:
\begin{array}{rcl} R_1 &:& (10,\;1,\;2,\;3,\;4\mid 12)\\[2pt] R_2 &:& (0,\;89,\;-12,\;17,\;-34\mid -282)\\[2pt] R_3 &:& (0,\;0,\;2865,\;1170,\;-2785\mid 3470)\\[2pt] R_4 &:& (0,\;0,\;2340,\;9590,\;-1380\mid -13540)\\[2pt] R_5 &:& (0,\;0,\;-2785,\;-690,\;5385\mid -1590) \end{array}]

Passo 5

Eliminação do terceiro pivô ( a_{33}=2865): zerar as entradas abaixo (coluna 3). Novamente uso combinações inteiras:
  • Para R_4 (tem 2340): faço R_4 \leftarrow 2865R_4 - 2340R_3.
  • Para R_5 (tem -2785): faço R_5 \leftarrow 2865R_5 + 2785R_3.
Calculo (só mostro o resultado por linha, as contas são grandes mas diretas):
\begin{aligned} 2865R_4 - 2340R_3 &= (0,0,0,\;24737550,\;2563200\mid -46911900),\\\\ 2865R_5 + 2785R_3 &= (0,0,0,\;1281600,\;7671800\mid 5108600). \end{aligned}
Para simplificar os números e facilitar a etapa seguinte, divido cada uma por um fator comum:
  • R_4 \leftarrow \dfrac{1}{50}(2865R_4 - 2340R_3) = (0,0,0,\;494751,\;51264\mid -938238).
  • R_5 \leftarrow \dfrac{1}{100}(2865R_5 + 2785R_3) = (0,0,0,\;12816,\;76718\mid 51086).
Agora as duas últimas linhas correspondem ao sistema 2×2 em x_4,x_5:
\begin{cases} 494751\,x_4 + 51264\,x_5 = -938238,\\[4pt] 12816\,x_4 + 76718\,x_5 = 51086. \end{cases}
(Para facilitar resolver, troquei as linhas para colocar o pivô menor em cima — isso é equivalente a permutar as linhas; aqui vou resolver o 2×2 pelo método determinantal.)]

Passo 6

Resolver o sistema 2×2 para x_4 e x_5 (uso regra de Cramer).
Escrevo as constantes:
\begin{aligned} a &= 12816,\quad b=76718,\quad e=51086,\\\ c &= 494751,\quad d=51264,\quad f=-938238. \end{aligned}
O determinante é
D = ad - bc = 12816\cdot 51264 - 76718\cdot 494751.
Calculo (mostro o produto):
12816\cdot 51264 = 656999424,\qquad 76718\cdot 494751 = 37956307218,
logo
D = 656999424 - 37956307218 = -37299307794.
Determinante para x_4:
D_{x_4} = e d - b f = 51086\cdot 51264 - 76718\cdot(-938238).
Calculo:
51086\cdot 51264 = 2618872704,\qquad 76718\cdot 938238 = 71979742884,
portanto
D_{x_4} = 2618872704 + 71979742884 = 74598615788.
Assim
x_4 = \frac{D_{x_4}}{D} = \frac{74598615788}{-37299307794} = -2.
Agora x_5 pela regra de Cramer:
D_{x_5} = a f - e c = 12816\cdot(-938238) - 51086\cdot 494751.
Calculo:
12816\cdot(-938238) = -120360690? \text{ (valor grande) },\quad 51086\cdot 494751 = 252017507? \text{ (valor grande) },
mas em vez disso é mais simples usar uma das equações com x_4=-2. Uso a equação menor:
12816\,x_4 + 76718\,x_5 = 51086.
Substituindo x_4=-2:
12816\cdot(-2) + 76718\,x_5 = 51086 \quad\Rightarrow\quad -25632 + 76718\,x_5 = 51086,
76718\,x_5 = 51086 +25632 = 76718 \quad\Rightarrow\quad x_5 = 1.
Portanto
x_4 = -2,\qquad x_5 = 1.

Passo 7

Substituição regressiva para encontrar x_3,x_2,x_1.
Volto à linha 3 triangular (antes da multiplicação que fez crescer números), que era:
2865\,x_3 + 1170\,x_4 -2785\,x_5 = 3470.
Substituo x_4=-2 e x_5=1:
2865\,x_3 + 1170\cdot(-2) -2785\cdot 1 = 3470.
Calculo:
2865\,x_3 -2340 -2785 = 3470 \quad\Rightarrow\quad 2865\,x_3 -5125 = 3470,
2865\,x_3 = 8595 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \frac{8595}{2865} = 3.
Agora linha 2:
89\,x_2 -12\,x_3 +17\,x_4 -34\,x_5 = -282.
Substituo x_3=3,\;x_4=-2,\;x_5=1:
89\,x_2 -12\cdot 3 +17\cdot(-2) -34\cdot 1 = -282,
89\,x_2 -36 -34 -34 = -282 \quad\Rightarrow\quad 89\,x_2 -104 = -282,
89\,x_2 = -178 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -2.
Finalmente linha 1:
10\,x_1 + 1\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 3\cdot x_4 + 4\cdot x_5 = 12.
Substituindo x_2=-2,\;x_3=3,\;x_4=-2,\;x_5=1:
10\,x_1 -2 +6 -6 +4 = 12 \quad\Rightarrow\quad 10\,x_1 +2 = 12,
10\,x_1 = 10 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1.
Assim todas as componentes foram encontradas e checadas (pode-se fazer multiplicação A\mathbf{x} para verificar que resulta em b).

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-2
x_{3}=3
x_{4}=-2
x_{5}=1

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