Resolva o seguinte sistema usando os métodos indicados e usando como ponto de partida
\left(\begin{array}{ccccc} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \\\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 12 \\\\ -27 \\\\ 14 \\\\ -17 \\\\ 12 \end{array}\right)
Gauss

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b}, onde
A=\left(\begin{array}{ccccc} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{array}\right), \qquad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} 12 \\\\ -27 \\\\ 14 \\\\ -17 \\\\ 12 \end{array}\right).
As incógnitas são \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\, e a tarefa é encontrar o vetor \mathbf{x} usando eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas). Todas as entradas da matriz e do vetor foram fornecidas no enunciado acima.

Passo 2

Estratégia prática: usar operações elementares (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplo de uma linha a outra) para reduzir a matriz aumentada à forma triangular superior e então aplicar substituição regressiva. Para simplificar contas escolho fazer a permuta inicial trocando a primeira linha pela segunda (isso nos dá um pivô igual a 1, o que facilita bastante as operações).
Após a troca R_{1}\leftrightarrow R_{2} a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 9 & -1 & 2 & -3 & -27\\[4pt] 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 12\\[4pt] 2 & -1 & 7 & 3 & -5 & 14\\[4pt] 3 & 2 & 3 & 12 & -1 & -17\\[4pt] 4 & -3 & -5 & -1 & 15 & 12 \end{array}\right].]

Passo 3

Eliminar a coluna 1 nas linhas 2 a 5 usando o pivô da linha 1 (que é 1). As operações são:
R_{2}\leftarrow R_{2}-10R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1},\quad R_{4}\leftarrow R_{4}-3R_{1},\quad R_{5}\leftarrow R_{5}-4R_{1}.
Fazendo as contas obtemos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 9 & -1 & 2 & -3 & -27\\[4pt] 0 & -89 & 12 & -17 & 34 & 282\\[4pt] 0 & -19 & 9 & -1 & 1 & 68\\[4pt] 0 & -25 & 6 & 6 & 8 & 64\\[4pt] 0 & -39 & -1 & -9 & 27 & 120 \end{array}\right].]

Passo 4

Para facilitar a eliminação na coluna 2 escolho como pivô a linha com coeficiente mais simples nessa coluna: troco R_{2} com R_{3} (trazer o -19 para a linha de pivô é mais prático que trabalhar com -89). Após R_{2}\leftrightarrow R_{3}:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 9 & -1 & 2 & -3 & -27\\[4pt] 0 & -19 & 9 & -1 & 1 & 68\\[4pt] 0 & -89 & 12 & -17 & 34 & 282\\[4pt] 0 & -25 & 6 & 6 & 8 & 64\\[4pt] 0 & -39 & -1 & -9 & 27 & 120 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminar os elementos da coluna 2 nas linhas 3,4,5 usando o pivô a_{22}=-19. As operações (usando fatores f_{i2}=a_{i2}/a_{22}) são:
R_{i}\leftarrow R_{i}-\frac{a_{i2}}{a_{22}}\,R_{2},\qquad i=3,4,5.
Calculando cada linha temos (aqui mostro os resultados simplificados):
  • Para R_{3} (fator f_{32}=\dfrac{-89}{-19}=\dfrac{89}{19}):
R_{3}=\left[0,0,-\dfrac{573}{19},-\dfrac{234}{19},\dfrac{557}{19}\;\Big|\;-\dfrac{694}{19}\right].
  • Para R_{4} (fator f_{42}=\dfrac{-25}{-19}=\dfrac{25}{19}):
R_{4}=\left[0,0,-\dfrac{111}{19},\dfrac{139}{19},\dfrac{127}{19}\;\Big|\;-\dfrac{484}{19}\right].
  • Para R_{5} (fator f_{52}=\dfrac{-39}{-19}=\dfrac{39}{19}):
R_{5}=\left[0,0,-\dfrac{370}{19},-\dfrac{132}{19},\dfrac{474}{19}\;\Big|\;-\dfrac{372}{19}\right].
Para simplificar os cálculos seguintes multiplico as linhas 3,4,5 por 19 (escalonamento de linha é permitido e facilita aritmética). Após multiplicar por 19 cada uma, a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 9 & -1 & 2 & -3 & -27\\[4pt] 0 & -19 & 9 & -1 & 1 & 68\\[4pt] 0 & 0 & -573 & -234 & 557 & -694\\[4pt] 0 & 0 & -111 & 139 & 127 & -484\\[4pt] 0 & 0 & -370 & -132 & 474 & -372 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora escolha um pivô para a coluna 3. Observando os valores -573,-111,-370, o mais simples é -111 (linha 4). Faço a troca R_{3}\leftrightarrow R_{4}. A matriz fica
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 9 & -1 & 2 & -3 & -27\\[4pt] 0 & -19 & 9 & -1 & 1 & 68\\[4pt] 0 & 0 & -111 & 139 & 127 & -484\\[4pt] 0 & 0 & -573 & -234 & 557 & -694\\[4pt] 0 & 0 & -370 & -132 & 474 & -372 \end{array}\right].]

Passo 7

Eliminar na coluna 3 as linhas abaixo de R_{3} (linhas 4 e 5). Os fatores são
f_{43}=\frac{-573}{-111}=\frac{573}{111}=\frac{191}{37},\qquad f_{53}=\frac{-370}{-111}=\frac{370}{111}=\frac{10}{3}.
Aplicando
R_{4}\leftarrow R_{4}-f_{43}R_{3},\qquad R_{5}\leftarrow R_{5}-f_{53}R_{3},
fazendo as contas e, para evitar frações, multiplicando depois por escalares inteiros quando conveniente, obtemos linhas inteiras. O resultado após essas operações (com escalonamentos usados para limpar denominadores) é
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 9 & -1 & 2 & -3 & -27\\[4pt] 0 & -19 & 9 & -1 & 1 & 68\\[4pt] 0 & 0 & -111 & 139 & 127 & -484\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -35207 & -3648 & 66766\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1786 & 152 & 3724 \end{array}\right].
(Embora os números tenham ficado grandes por causa dos escalonamentos que removem denominadores, a forma triangular está correta.)]

Passo 8

Para a coluna 4 escolho o pivô menor em módulo: entre -35207 e -1786 escolho -1786 (linha 5). Faço a troca R_{4}\leftrightarrow R_{5}. A matriz fica
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 9 & -1 & 2 & -3 & -27\\[4pt] 0 & -19 & 9 & -1 & 1 & 68\\[4pt] 0 & 0 & -111 & 139 & 127 & -484\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1786 & 152 & 3724\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -35207 & -3648 & 66766 \end{array}\right].]

Passo 9

Eliminar o elemento da coluna 4 em R_{5} usando o pivô a_{44}=-1786. O fator é
f_{54}=\frac{-35207}{-1786}=\frac{1853}{94}.
Aplicando R_{5}\leftarrow R_{5}-f_{54}R_{4} e fazendo as contas com cuidado (cancelamentos e simplificações), obtemos uma última linha em que o coeficiente de x_{5} e o termo independente coincidem:
R_{5}=\left[0,0,0,0,-\dfrac{312284}{47}\;\Big|\;-\dfrac{312284}{47}\right].
Isto implica, nesta última equação, que
-\dfrac{312284}{47}\,x_{5}=-\dfrac{312284}{47}\quad\Longrightarrow\quad x_{5}=1.
Ótimo — já encontramos x_{5} sem necessidade de dividir números gigantescos fora do cancelamento.

Passo 10

Agora fazemos substituição regressiva (back substitution) usando as linhas superiores, substituindo x_{5}=1.
Da linha 4 (após as trocas) temos
-1786\,x_{4}+152\,x_{5}=3724.
Substituindo x_{5}=1:
-1786\,x_{4}+152=3724\quad\Longrightarrow\quad -1786\,x_{4}=3724-152=3572,
portanto
x_{4}=-\dfrac{3572}{1786}=-2.
Da linha 3 temos
-111\,x_{3}+139\,x_{4}+127\,x_{5}=-484.
Substituindo x_{4}=-2 e x_{5}=1:
-111\,x_{3}+139(-2)+127(1)=-484\quad\Longrightarrow\quad -111\,x_{3}-278+127=-484,
-111\,x_{3}-151=-484\quad\Longrightarrow\quad -111\,x_{3}=-333\quad\Longrightarrow\quad x_{3}=3.
Da linha 2 temos
-19\,x_{2}+9\,x_{3}-x_{4}+x_{5}=68.
Substituindo x_{3}=3,\;x_{4}=-2,\;x_{5}=1:
-19\,x_{2}+9\cdot 3 -(-2)+1=68\quad\Longrightarrow\quad -19\,x_{2}+27+2+1=68,
-19\,x_{2}+30=68\quad\Longrightarrow\quad -19\,x_{2}=38\quad\Longrightarrow\quad x_{2}=-2.
Da linha 1 (equação original reorganizada) temos
x_{1}+9\,x_{2}-x_{3}+2\,x_{4}-3\,x_{5}=-27.
Substituindo x_{2}=-2,\;x_{3}=3,\;x_{4}=-2,\;x_{5}=1:
x_{1}+9(-2)-3+2(-2)-3= -27\quad\Longrightarrow\quad x_{1}-18-3-4-3=-27,
x_{1}-28=-27\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-2
x_{3}=3
x_{4}=-2
x_{5}=1

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