As incógnitas são \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\, e a tarefa é encontrar o vetor \mathbf{x} usando eliminação de Gauss (operações elementares entre linhas). Todas as entradas da matriz e do vetor foram fornecidas no enunciado acima.
Passo 2
Estratégia prática: usar operações elementares (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplo de uma linha a outra) para reduzir a matriz aumentada à forma triangular superior e então aplicar substituição regressiva. Para simplificar contas escolho fazer a permuta inicial trocando a primeira linha pela segunda (isso nos dá um pivô igual a 1, o que facilita bastante as operações).
Após a troca R_{1}\leftrightarrow R_{2} a matriz aumentada fica
Para facilitar a eliminação na coluna 2 escolho como pivô a linha com coeficiente mais simples nessa coluna: troco R_{2} com R_{3} (trazer o -19 para a linha de pivô é mais prático que trabalhar com -89). Após R_{2}\leftrightarrow R_{3}:
Para simplificar os cálculos seguintes multiplico as linhas 3,4,5 por 19 (escalonamento de linha é permitido e facilita aritmética). Após multiplicar por 19 cada uma, a matriz aumentada fica
Agora escolha um pivô para a coluna 3. Observando os valores -573,-111,-370, o mais simples é -111 (linha 4). Faço a troca R_{3}\leftrightarrow R_{4}. A matriz fica
fazendo as contas e, para evitar frações, multiplicando depois por escalares inteiros quando conveniente, obtemos linhas inteiras. O resultado após essas operações (com escalonamentos usados para limpar denominadores) é
Eliminar o elemento da coluna 4 em R_{5} usando o pivô a_{44}=-1786. O fator é
f_{54}=\frac{-35207}{-1786}=\frac{1853}{94}.
Aplicando R_{5}\leftarrow R_{5}-f_{54}R_{4} e fazendo as contas com cuidado (cancelamentos e simplificações), obtemos uma última linha em que o coeficiente de x_{5} e o termo independente coincidem: