Sejam
um espaço vetorial sobre
com dimensão finita e
uma transformação linear. Suponha que exista
tal que
. Prove que
é um isomorfismo e
. Dê um exemplo que mostre que isso é falso quando a dimensão de
não for finita.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial de dimensão finita
e uma transformação linear
para a qual existe outra transformação linear
satisfazendo
. O conteúdo aqui envolve noções de sobrejeção, injeção, Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema do posto), e unicidade da inversa em espaços de dimensão finita.
Passo 2
De
segue que para qualquer
existe
tal que
. Logo
é sobrejetora (pois todo vetor em
é imagem de algum vetor sob
).
Em dimensão finita, o Teorema do Núcleo e Imagem diz que
Em dimensão finita, o Teorema do Núcleo e Imagem diz que
Como
é sobrejetora,
. Portanto
Isto mostra que
é injetora e, portanto, bijetora. Sendo bijetora e linear,
é um isomorfismo.
Passo 3
Em espaços vetoriais, a inversa de uma bijeção linear é única. Como já temos
, e
é bijetora, isso força
. Podemos também ver diretamente que
e, como
é injetora (seguindo de
), conclui-se
, confirmando que
é a inversa à esquerda e à direita de
.
Passo 4
Para ver que a afirmação pode falhar em dimensão infinita, considere
o espaço dos vetores com suporte finito, e defina em uma base
Então
ou seja
. Mas
mostra que
não é injetora, logo não é isomorfismo. Isto fornece o contraexemplo em dimensão infinita.
Resposta
T é um isomorfismo e a única escolha possível para G é G=
. No caso infinito, o operador “shift” acima mostra que ter inversa à direita não garante bijeção.