Sejam V um espaço vetorial sobre K com dimensão finita e T: V V uma transformação linear. Suponha que exista G: V V tal que T circ G=IdV. Prove que T é um isomorfismo e G=T^-1. Dê um exemplo que mostre que isso é falso quando a dimensão de V não for finita.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial de dimensão finita V e uma transformação linear T:Vto V para a qual existe outra transformação linear G:Vto V satisfazendo Tcirc G=IdV. O conteúdo aqui envolve noções de sobrejeção, injeção, Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema do posto), e unicidade da inversa em espaços de dimensão finita.

Passo 2

De Tcirc G=IdV segue que para qualquer vin V existe u=G(v) tal que T(u)=v. Logo T é sobrejetora (pois todo vetor em V é imagem de algum vetor sob T).
Em dimensão finita, o Teorema do Núcleo e Imagem diz que
dim(V)=rank(T)+dim(ker(T))
Como T é sobrejetora, rank(T)=dim(V). Portanto
dim(V)=dim(V)+dim(ker(T))impliesdim(ker(T))=0
Isto mostra que T é injetora e, portanto, bijetora. Sendo bijetora e linear, T é um isomorfismo.

Passo 3

Em espaços vetoriais, a inversa de uma bijeção linear é única. Como já temos Tcirc G=IdV, e T é bijetora, isso força G=T^-1. Podemos também ver diretamente que
G=Gcirc( Tcirc G )=(Gcirc T)circ G
e, como G é injetora (seguindo de Tcirc G=Id), conclui-se Gcirc T=IdV, confirmando que G é a inversa à esquerda e à direita de T.

Passo 4

Para ver que a afirmação pode falhar em dimensão infinita, considere
V=oplusn=1^inftyK,
o espaço dos vetores com suporte finito, e defina em uma base (en)n>=1
T(e1)=0, T(en+1)=en,
G(en)=en+1
Então
Tcirc G(en)=T(en+1)=en,
ou seja Tcirc G=IdV. Mas T(e1)=0 mostra que T não é injetora, logo não é isomorfismo. Isto fornece o contraexemplo em dimensão infinita.

Resposta

T é um isomorfismo e a única escolha possível para G é G= T^-1. No caso infinito, o operador “shift” acima mostra que ter inversa à direita não garante bijeção.

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