Resolva as seguintes congruências:
36 x equiv 27(bmod 43)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear 36x equiv 27 pmod43. Esse tipo de problema usa a teoria dos números: primeiro verificamos se gcd(36,43) divide 27 e depois, se for o caso, encontramos o inverso de 36 módulo 43 para isolar x.

Passo 2

Calculamos o máximo divisor comum usando o algoritmo de Euclides:
43 = 36cdot1 + 7
36 = 7cdot5 + 1
7 = 1cdot7 + 0
Logo, gcd(36,43)=1. Como 1 divide 27, a congruência tem solução única módulo 43.

Passo 3

Para achar o inverso de 36 módulo 43, voltamos nas contas do Euclides:
1 = 36 - 7cdot5
Mas 7 = 43 - 36cdot1, então
1 = 36 - (43 - 36cdot1)cdot5 = 36cdot6 - 43cdot5
Isso mostra que 36cdot6 equiv 1 pmod43, ou seja, o inverso de 36 é 6.

Passo 4

Multiplicamos a congruência original pelo inverso 6:
6cdot(36x) equiv 6cdot27 pmod43
x equiv 162 pmod43
Como 162 - 43cdot3 = 33, concluímos que
x equiv 33 pmod43

Resposta

x equiv 33 pmod43

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