Resolva as seguintes E.D.Os homogeneas;
onde
é um número real.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente das de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a solução geral dessas equações usando o método dos coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma EDO de segunda ordem como essa pode ser resolvida assumindo que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 3
Substituindo
na equação
, a gente calcula a primeira e segunda derivadas:
Passo 4
Agora, substituindo essas derivadas na equação original:
Passo 5
Podemos fatorar
(que nunca é zero) e ficar com a equação característica:
Passo 6
Resolvendo a equação característica:
Passo 7
Com os valores de
encontrados, a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções correspondentes:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: