Resolva as seguintes E.D.Os homogeneas;
y^prime prime-k^2 y=0 onde k é um número real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea y'' - k^2 y = 0 . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente das de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a solução geral dessas equações usando o método dos coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma EDO de segunda ordem como essa pode ser resolvida assumindo que a solução tem a forma y = e^rt , onde r é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação y'' - k^2 y = 0 , a gente calcula a primeira e segunda derivadas:
  • y' = r e^rt
  • y'' = r^2 e^rt

Passo 4

Agora, substituindo essas derivadas na equação original:
r^2 e^rt - k^2 e^rt = 0

Passo 5

Podemos fatorar e^rt (que nunca é zero) e ficar com a equação característica:
r^2 - k^2 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação característica:
r^2 = k^2
r = pm k

Passo 7

Com os valores de r encontrados, a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções correspondentes:
y(t) = C1 e^kt + C2 e^-kt
onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' - k^2 y = 0 é:
y(t) = C1 e^kt + C2 e^-kt

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