Resolva as seguintes E.D.Os não-homogeneas;
y^prime prime-8 y^prime+25 y=5 x^3 e^-x-7 e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea que é:
y'' - 8y' + 25y = 5x^3 e^-x - 7 e^-x
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem e coeficientes constantes. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( yh) e de uma solução particular ( yp). Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações características e métodos para encontrar soluções particulares, como o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 8y' + 25y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo y'' por r^2, y' por r e y por 1:
r^2 - 8r + 25 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = 8 pm raiz64 - 1002 = 8 pm raiz-362 = 8 pm 6i2 = 4 pm 3i
As raízes são complexas, então a solução geral da equação homogênea é:
yh = e^4x ( C1 cos(3x) + C2 sin(3x) )
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a EDO não homogênea:
y'' - 8y' + 25y = 5x^3 e^-x - 7 e^-x
Observamos que o lado direito da equação é composto por termos da forma x^3 e^-x e e^-x. Para encontrar yp, usaremos o método dos coeficientes a determinar, assumindo uma solução da forma:
yp = e^-x (A x^3 + B x^2 + C x + D)
onde A, B, C e D são constantes que iremos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp:
Primeira derivada:
yp' = e^-x ( -A x^3 - B x^2 - C x - D ) + e^-x ( 3A x^2 + 2B x + C )
Simplificando:
yp' = e^-x [ ( -A x^3 - B x^2 - C x - D ) + (3A x^2 + 2B x + C) ] = e^-x ( -A x^3 + (3A - B) x^2 + (2B - C) x + (C - D) )
Segunda derivada:
yp'' = e^-x [ A x^3 + (-3A + B) x^2 + (-2B + C) x + (D - C) ] + e^-x [ -3A x^2 + 2(3A - B) x + (2B - C) ]
Simplificando:
yp'' = e^-x [ A x^3 + (-3A + B) x^2 + (-2B + C) x + (D - C) - 3A x^2 + 6A x - 2B x + 2B - C ]
yp'' = e^-x ( A x^3 + (-6A + B) x^2 + (4A - 4B + C) x + (D - 2C + 2B) )

Passo 5

Agora, substituímos yp, yp' e yp'' na EDO original:
yp'' - 8 yp' + 25 yp = 5x^3 e^-x - 7 e^-x
Substituindo as expressões encontradas:
e^-x ( A x^3 + (-6A + B) x^2 + (4A - 4B + C) x + (D - 2C + 2B) )
- 8 e^-x ( -A x^3 + (3A - B) x^2 + (2B - C) x + (C - D) )
+ 25 e^-x ( A x^3 + B x^2 + C x + D ) = 5x^3 e^-x - 7 e^-x
Factorizando e^-x e reunindo os termos:
e^-x [ (A + 8A + 25A) x^3 + ( -6A + B - 24A + 8B + 25B ) x^2 + (4A - 4B + C - 16B + 8C + 25C ) x + (D - 2C + 2B + 8D - 25D) ] = 5x^3 e^-x - 7 e^-x
Simplificando os coeficientes:
Para x^3:
A + 8A + 25A = 34A
Para x^2:
-6A + B -24A +8B +25B = (-6A -24A) + (B +8B +25B) = -30A +34B
Para x:
4A -4B + C -16B +8C +25C = 4A + (-4B -16B) + (C +8C +25C) = 4A -20B +34C
Para o termo constante:
D -2C +2B +8D -25D = (D +8D -25D) + 2B -2C = -16D +2B -2C
Então, temos:
34A x^3 + (-30A +34B) x^2 + (4A -20B +34C) x + (-16D +2B -2C) = 5x^3 - 7

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para x^3:
34A = 5 Rightarrow A = 534
Para x^2:
-30A +34B = 0 Rightarrow -30 cdot 534 +34B = 0 Rightarrow -15034 +34B = 0 Rightarrow B = 15034 cdot 34 = 7534 cdot 17 = 751156
Para x:
4A -20B +34C = 0
Substituindo A e B:
4 cdot 534 -20 cdot 751156 +34C = 0
Simplificando:
2034 - 15001156 +34C = 0
1017 - 15001156 +34C = 0
Calculando:
10 cdot 6817 cdot 68 - 15001156 = 6801156 - 15001156 = -8201156
Então:
- 8201156 +34C = 0 Rightarrow C = 8201156 cdot 34 = 82039224 = 2059806
Para o termo constante:
-16D +2B -2C = -7
Substituindo B e C:
-16D +2 cdot 751156 -2 cdot 2059806 = -7
Calculando:
-16D + 1501156 - 4109806 = -7
-16D + 150 cdot 9806 - 410 cdot 11561156 cdot 9806 = -7
Calculando os numeradores:
150 cdot 9806 = 1,470,900
410 cdot 1156 = 473, 960
Então:
-16D + 1,470,900 - 473,96011,329, 36 = -7
Simplificando:
-16D + 996,94011,329, 36 = -7
Aproximando:
-16D + 0.088 = -7 Rightarrow -16D = -7.088 Rightarrow D = 7.08816 approx 0.443

Passo 7

Agora que encontramos A, B, C e D, podemos escrever a solução particular:
yp = e^-x ( 534 x^3 + 751156 x^2 + 2059806 x + 0.443 )

Resposta

A solução geral da E.D.O é:
y = e^4x ( C1 cos(3x) + C2 sin(3x) ) + e^-x ( 534 x^3 + 751156 x^2 + 2059806 x + 0.443 )
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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