Resolva as seguintes E.D.Os não-homogeneas;
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea que é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem e coeficientes constantes. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) e de uma solução particular (
). Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações características e métodos para encontrar soluções particulares, como o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas, então a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a EDO não homogênea:
Observamos que o lado direito da equação é composto por termos da forma
e
. Para encontrar
, usaremos o método dos coeficientes a determinar, assumindo uma solução da forma:
onde
,
,
e
são constantes que iremos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Simplificando:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na EDO original:
Substituindo as expressões encontradas:
Factorizando
e reunindo os termos:
Simplificando os coeficientes:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Então, temos:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Calculando:
Então:
Para o termo constante:
Substituindo
e
:
Calculando:
Calculando os numeradores:
Então:
Simplificando:
Aproximando:
Passo 7
Agora que encontramos
,
,
e
, podemos escrever a solução particular:
Resposta
A solução geral da E.D.O é:
onde
e
são constantes arbitrárias.