Resolva as seguintes E.D.Os usando Operadores Diferenciais;
y^prime prime+3 y^prime+2 y=4 x^2

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 4x^2,
usando o operador diferencial D, onde D[y]=y'. Assim podemos reescrever a E.D.O. como
(D^2 + 3D + 2),y = 4x^2
O conteúdo é fatorar o polinômio em D, achar a solução complementar e depois a particular via inversão de operadores.

Passo 2

Primeiro achamos a solução complementar yc resolvendo
(D^2 + 3D + 2),yc = 0
Fatorando o operador:
D^2 + 3D + 2 = (D+1)(D+2)
As raízes são -1 e -2, logo
yc(x) = C1,e^-x + C2,e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp usando o inverso do operador:
yp = 1(D+1)(D+2)l[4x^2r]
Fazemos frações parciais em operadores:
1(D+1)(D+2) =1D+1-1D+2
Então
yp = 1D+1[4x^2];-;1D+2[4x^2]

Passo 4

Para aplicar 1D+a a uma função f(x) usamos a fórmula
1D+al[f(x)r] = e^-a xintegral e^a xf(x),dx
  1. Calculemos 1D+1[4x^2]:
e^-xintegral 4x^2e^xdx = e^-xl[4(x^2-2x+2)e^xr] =4(x^2-2x+2)
  1. Calculemos 1D+2[4x^2]:
e^-2xintegral 4x^2e^2xdx = e^-2xl[4,e^2xl(tfracx^22-tfracx2+tfrac14r)r] =2x^2-2x+1
Subtraindo, obtemos
yp(x) =4(x^2-2x+2);-;l(2x^2-2x+1r) =2x^2-6x+7

Passo 5

A solução geral da E.D.O. é a soma da complementar com a particular:
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1e^-x + C2e^-2x + 2x^2 -6x +7

Resposta

boxedy(x) = C1e^-x + C2e^-2x + 2x^2 -6x +7

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