Resolva as seguintes E.D.Os usando Operadores Diferenciais;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
usando operadores diferenciais. Isso significa que vamos utilizar técnicas de álgebra para manipular a equação e encontrar a solução. Primeiro, precisamos entender cada parte da equação e identificar que tipo de funções estão envolvidas para aplicar a teoria corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial usando o operador diferencial
, onde
. Assim, nossa equação fica:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e adicionamos 1 para simplificar a notação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é
. A equação característica para isso é:
Resolvendo, temos
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observamos que o lado direito é uma combinação de termos que envolvem
e
.
Como
é uma solução da equação homogênea, para evitar duplicação, vamos multiplicar nossa hipótese de solução particular por
. Assim, propomos:
onde
são constantes a serem encontradas.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
e substituímos na equação original:
Após derivar e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver os valores de
. Esse processo envolve um pouco de cálculo, mas eventualmente encontramos:
Portanto, a solução particular fica:
Passo 6
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.