Resolva as seguintes E.D.Os usando Operadores Diferenciais;
y^prime prime+y=x cos x-cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem y'' + y = x cos x - cos x usando operadores diferenciais. Isso significa que vamos utilizar técnicas de álgebra para manipular a equação e encontrar a solução. Primeiro, precisamos entender cada parte da equação e identificar que tipo de funções estão envolvidas para aplicar a teoria corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial usando o operador diferencial D , onde D = ddx . Assim, nossa equação fica:
(D^2 + 1)y = x cos x - cos x
Aqui, D^2 representa a segunda derivada de y em relação a x , e adicionamos 1 para simplificar a notação.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é y'' + y = 0 . A equação característica para isso é:
r^2 + 1 = 0
Resolvendo, temos r = pm i . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 cos x + C2 sin x
onde C1 e C2 são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa y'' + y = x cos x - cos x . Observamos que o lado direito é uma combinação de termos que envolvem cos x e x cos x .
Como cos x é uma solução da equação homogênea, para evitar duplicação, vamos multiplicar nossa hipótese de solução particular por x . Assim, propomos:
yp = x(Ax + B)cos x + x(Cx + D)sin x
onde A, B, C, D são constantes a serem encontradas.

Passo 5

Calculamos as derivadas de yp e substituímos na equação original:
yp'' + yp = x cos x - cos x
Após derivar e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver os valores de A, B, C, D . Esse processo envolve um pouco de cálculo, mas eventualmente encontramos:
A = 12, B = 0, C = -12, D = 12
Portanto, a solução particular fica:
yp = 12x^2 cos x + 12x sin x

Passo 6

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y = yh + yp = C1 cos x + C2 sin x + 12x^2 cos x + 12x sin x

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' + y = x cos x - cos x é:
y = C1 cos x + C2 sin x + 12x^2 cos x + 12x sin x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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