Resolva as seguintes E.D.O’s lineares;
(4) (PVI) x d y / d x+y=2 x ; y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
xdydx + y = 2x, y(1)=0
O conteúdo envolvido é E.D.O. linear de primeira ordem e uso de fator integrante.

Passo 2

Para aplicar o método do fator integrante, colocamos a equação na forma padrão
dydx + 1x,y = 2,
dividindo tudo por x. Aqui identificamos p(x)=1/x e q(x)=2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 1xdx = e^ln|x| = x,
considerando x>0 (a condição inicial está em x=1).

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=x obtemos
xdydx + y = 2x,
que é exatamente
ddxl(xyr) = 2x
Integrando em x,
x,y = integral 2x,dx = x^2 + C,
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y = x + C,x^-1

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = 1 + CLongrightarrow C = -1
Portanto a solução do PVI é
y = x - 1x

Resposta

y = x - 1x

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