Resolva as seguintes E.D.Os usando Variação de Parametros;
y^prime prime-4 y^prime+4 y=(x+1) e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (E.D.O) que é y'' - 4y' + 4y = (x + 1)e^2x. O conteúdo que vamos usar aqui é Variação de Parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de E.D.Os não homogêneas. Para isso, vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, y'' - 4y' + 4y = 0. Para isso, assumimos uma solução da forma y = e^rx e encontramos os valores de r que satisfazem a equação característica.

Passo 3

Substituindo y = e^rx na equação homogênea, temos:
(r)^2 e^rx - 4r e^rx + 4 e^rx = 0
Dividindo por e^rx (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática r^2 - 4r + 4 = 0:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 42 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2
Como temos uma raiz dupla r = 2, a solução geral da equação homogênea é:
yh = (C1 + C2 x)e^2x

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea y'' - 4y' + 4y = (x + 1)e^2x usando a Variação de Parâmetros. A ideia é supor que yp tem a forma u(x)e^2x, onde u(x) é uma função a ser determinada.

Passo 6

Calculando as derivadas de yp = u(x)e^2x:
yp' = u'(x)e^2x + 2u(x)e^2x
yp'' = u''(x)e^2x + 4u'(x)e^2x + 4u(x)e^2x

Passo 7

Substituindo yp, yp', e yp'' na equação original:
u''e^2x + 4u'e^2x + 4u e^2x - 4(u'e^2x + 2u e^2x) + 4u e^2x = (x + 1)e^2x
Simplificando:
u''e^2x = (x + 1)e^2x
Dividindo ambos os lados por e^2x:
u'' = x + 1

Passo 8

Integrando u'' = x + 1 duas vezes para encontrar u(x):
Primeira integral:
u' = 12x^2 + x + C
Segunda integral:
u = 16x^3 + 12x^2 + Cx + D
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração C e D.

Passo 9

Portanto, a solução particular é:
yp = (16x^3 + 12x^2)e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = yh + yp = (C1 + C2 x)e^2x + (16x^3 + 12x^2)e^2x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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