Resolva as seguintes E.D.Os usando Variação de Parametros;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (E.D.O) que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é Variação de Parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de E.D.Os não homogêneas. Para isso, vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, assumimos uma solução da forma
e encontramos os valores de
que satisfazem a equação característica.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
usando a Variação de Parâmetros. A ideia é supor que
tem a forma
, onde
é uma função a ser determinada.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
, e
na equação original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Integrando
duas vezes para encontrar
:
Primeira integral:
Segunda integral:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração
e
.
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.