Resolva as seguintes E.D.Os usando Variação de Parametros;
y^prime prime+3 y^prime+2 y=4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 4x^2
usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar ( 1) encontrar a solução geral da homogênea associada e ( 2) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Buscamos primeiro a solução da homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0
O polinômio característico é
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja solução dá r=-1 e r=-2. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^-x + C2 e^-2x
Denotamos y1 = e^-x e y2 = e^-2x.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^-x & e^-2x -,e^-x & -2,e^-2x = -2e^-3x -(-1)e^-3x = -,e^-3x

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, para a equação
y''+3y'+2y = g(x)
temos
u1' = -g(x),y2W, u2' = g(x),y1W,
com g(x)=4x^2. Assim
u1' = -4x^2,e^-2x-e^-3x =4x^2,e^x, u2' = 4x^2,e^-x-e^-3x =-4x^2,e^2x

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1 = integral 4x^2,e^x,dx =4l(x^2-2x+2r)e^x,
u2 = integral -4x^2,e^2x,dx =e^2xl(-2x^2+2x-1r)
(Estamos desprezando constantes de integração, pois já estão absorvidas em C1,C2.)

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 =4(x^2-2x+2)e^xcdot e^-x +e^2x(-2x^2+2x-1)cdot e^-2x =4(x^2-2x+2)-2x^2+2x-1 =2x^2-6x+7
Assim a solução geral da E.D.Os é
y(x)=yh+yp =C1e^-x+C2e^-2x+2x^2-6x+7

Resposta

boxedy(x)=C1e^-x+C2e^-2x+2x^2-6x+7

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