Resolva as seguintes EDO
y^prime+t2 y-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo y^prime + t2 y - 1 = 0. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar um fator integrante. Vamos nessa?

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
y' + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, temos:
y' + t2 y = 1
Aqui, P(t) = t2 e Q(t) = 1.

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar o fator integrante, que é uma função que vai multiplicar toda a equação para facilitar a solução. A fórmula para o fator integrante mu(t) é:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) = t2:
mu(t) = e^integral t2 dt = e^t^24

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante mu(t):
e^t^24 y' + e^t^24 cdot t2 y = e^t^24 cdot 1
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(t) y:
ddt ( e^t^24 y ) = e^t^24

Passo 5

Vamos integrar os dois lados da equação:
integral ddt ( e^t^24 y ) dt = integral e^t^24 dt
Isso resulta em:
e^t^24 y = integral e^t^24 dt + C
Infelizmente, a integral de e^t^24 não pode ser expressa em termos de funções elementares. Então, a gente deixa assim ou usa a função erro erf(t) para expressar a solução.

Passo 6

Resolvendo para y, temos:
y = e^-t^24 ( integral e^t^24 dt + C )
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = e^-t^24 ( integral e^t^24 dt + C )
Onde C é uma constante qualquer.

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