Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
2 x y-sen x+(x^2+e^y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado fornece a EDO
(2xy - sen x),dx + (x^2 + e^y),dy = 0
Trata-se de uma equação de primeira ordem no formato de equação exata. Vamos usar o método de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Identificamos
$$M(x,y)=2xy-\operatorname{sen} x,
\quad N(x,y)=x2+ey. M(x,y)=2xy-sen x, N(x,y)=x^2+e^yé\frac{\partial M}{\partial y}=2x,
\quad \frac{\partial N}{\partial x}=2x,$$
como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M=2xy-sen x
Integramos em relação a x:
$$
\phi(x,y)=\int(2xy-\operatorname{sen} x),dx=2y\frac{x^2}{2}+\cos x+h(y)=x^2y+\cos x+h(y).
$$

Passo 4

Usamos agora
$$\frac{\partial \phi}{\partial y}=x^2+h’(y)
partial phipartial y=x^2+h'(y) h’(y)=e^y\implies h(y)=e^y.
$$

Passo 5

A função potencial completa é
$$\phi(x,y)=x^2y+\cos x+e^y,
phi(x,y)=x^2y+cos x+e^y, çãçãíx^2y+\cos x+e^y=C,
$$
onde x^2y+cos x+e^y=C, é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é
x^2y+cos x+e^y=C

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