Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
O enunciado fornece a EDO
Trata-se de uma equação de primeira ordem no formato de equação exata. Vamos usar o método de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Identificamos
$$M(x,y)=2xy-\operatorname{sen} x,
\quad N(x,y)=x2+ey.
\frac{\partial M}{\partial y}=2x,
\quad \frac{\partial N}{\partial x}=2x,$$
como são iguais, a equação é exata.
como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
$$
\phi(x,y)=\int(2xy-\operatorname{sen} x),dx=2y\frac{x^2}{2}+\cos x+h(y)=x^2y+\cos x+h(y).
$$
Passo 4
Usamos agora
$$\frac{\partial \phi}{\partial y}=x^2+h’(y)
$$
Passo 5
A função potencial completa é
$$\phi(x,y)=x^2y+\cos x+e^y,
$$
onde é constante arbitrária.
onde
Resposta
A solução geral da EDO é