Resolva as seguintes EDOs pelo método da separação:
y^{\prime}=\frac{x+1}{y^{3}-1}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{x+1}{y^{3}-1}
e pede para resolver pelo método de separação de variáveis. Vamos isolar y de um lado e x do outro, integrar ambos os lados e obter a solução geral.

Passo 2

Para separar variáveis, escrevemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{y^{3}-1}
e então multiplicamos ambos os lados por (y^{3}-1)\,dx, obtendo
(y^{3}-1)\,dy = (x+1)\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int (y^{3}-1)\,dy = \int (x+1)\,dx.

Passo 4

Calculando as antiderivadas e incluindo a constante de integração C, temos
\frac{y^{4}}{4} - y = \frac{x^{2}}{2} + x + C.

Resposta

\frac{y^{4}}{4} - y = \frac{x^{2}}{2} + x + C,
que é a solução implícita geral da EDO.

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