Resolva as seguintes EDO’s de Primeira Ordem usando o Método de Separação de Variáveis.
y^{\prime}=x e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = x e^{-x}
usando separação de variáveis. Vamos reescrever em termos de diferenciais e integrar; para o integral de x e^{-x} usaremos integração por partes.

Passo 2

Reescrevendo y' = \frac{dy}{dx} e separando as variáveis, obtemos
dy = x e^{-x}\,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int dy = \int x e^{-x}\,dx
Logo
y = \int x e^{-x}\,dx + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int x e^{-x}\,dx aplicamos integração por partes. Tomamos
u = x,\quad dv = e^{-x}\,dx
então
du = dx,\quad v = -e^{-x}.
Assim
\int x e^{-x}\,dx = uv - \int v\,du = -x e^{-x} - \int\bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C_{1}.

Passo 5

Substituindo de volta em y e absorvendo C_{1} na constante geral C, obtemos a solução geral
y(x) = -(x+1)e^{-x} + C.

Resposta

y(x) = -(x+1)e^{-x} + C.

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