Resolva as seguintes EDO’s de Primeira Ordem usando o Método de Separação de Variáveis.
y^{\prime}=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO \displaystyle \frac{dy}{dx} = y^{2}
pelo método de separação de variáveis. Esse método consiste em escrever todos os termos que envolvem y de um lado e todos os que envolvem x do outro.

Passo 2

Verificamos primeiro soluções constantes. Se y(x)=k é constante, então y'=0 e a equação
0 = k^{2}
implica k=0. Logo,
y(x)=0
é uma solução trivial.

Passo 3

Para as soluções não constantes (i.e.\ y\neq0), reescrevemos
\frac{dy}{dx} = y^{2}
como
\frac{dy}{y^{2}} = dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int y^{-2}\,dy = \int dx
-\,y^{-1} = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos
y = -\frac{1}{x + C}.

Resposta

As soluções gerais de \displaystyle \frac{dy}{dx} = y^{2}
são
y(x)=0 \quad\text{e}\quad y(x)=-\frac{1}{x + C},
onde C é constante arbitrária.

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