O enunciado pede para estudar a convergência da série .
O conteúdo necessário inclui o teste de convergência absoluta (por comparação) e o teste de séries alternantes (Leibniz).
Passo 2
Teste de convergência absoluta: consideramos
Aplicamos o teste da comparação por limite com a série harmônica sum 1/n:
Como sum 1/n diverge e o limite é finito não nulo, deduzimos que sum n/(25n^2+1) diverge.
Logo, a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Teste de Leibniz (série alternante): defina an=n25n^2+1.
an>0 para todo n.
limntoinftyan=0, pois ansim1/(25n).
an é decrescente para n>=1, já que a derivada de f(x)=x/(25x^2+1) é negativa para x>1/5.
Pelas condições do teste de Leibniz, a série alternante converge.