Verifique se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty (-1)^n n25 n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^nn25n^2+1.
O conteúdo necessário inclui o teste de convergência absoluta (por comparação) e o teste de séries alternantes (Leibniz).

Passo 2

Teste de convergência absoluta: consideramos
sumn=1^inftygl|(-1)^nn25n^2+1gr| = sumn=1^inftyn25n^2+1
Aplicamos o teste da comparação por limite com a série harmônica sum 1/n:
limntoinfty n25n^2+11n = limntoinftyn^225n^2+1 =125>0
Como sum 1/n diverge e o limite é finito não nulo, deduzimos que
sum n/(25n^2+1) diverge.
Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Teste de Leibniz (série alternante): defina
an=n25n^2+1.
  1. an>0 para todo n.
  2. limntoinftyan=0, pois ansim1/(25n).
  3. an é decrescente para n>=1, já que a derivada de f(x)=x/(25x^2+1) é negativa para x>1/5.
    Pelas condições do teste de Leibniz, a série alternante converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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