Verifique se as séries convergem ou divergem:
sumk=1^infty (-3)^n-14^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty(-3)^n-14^n
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries geométricas, portanto vamos usar o critério de convergência de séries geométricas e, se ela convergir, calcular sua soma.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de modo a enxergar a forma padrão de série geométrica. Note que
(-3)^n-14^n =14,(-3)^n-14^,n-1 =14l(-tfrac34r)^n-1
Assim, a série é geométrica com primeiro termo
a = 14
e razão
r = -tfrac34

Passo 3

Para uma série geométrica sum a,r^n-1 convergir, é necessário e suficiente que lvert rrvert<1. Aqui
llvert -tfrac34rrvert = tfrac34<1,
logo a série converge.

Passo 4

Quando lvert rrvert<1, a soma da série geométrica é
sumn=1^inftya,r^n-1 = a1-r
Substituindo a=tfrac14 e r=-tfrac34, obtemos
sumn=1^infty(-3)^n-14^n = tfrac141 - l(-tfrac34r) = tfrac141 + tfrac34 = tfrac14tfrac74 = 17

Resposta

A série converge e sua soma vale tfrac17.

Exercícios relacionados