Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
\left(y+x(1-x)^{2}\right) d x+(1-x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(y + x(1 - x)^{2}\bigr)\,dx + (1 - x)\,dy = 0.
Este é um caso de equação diferencial de primeira ordem que pode não ser exata inicialmente, mas admitirá um fator integrante que depende só de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y + x(1 - x)^{2}, \quad N(x,y) = 1 - x.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -1,
logo \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, e a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x) função só de x usando
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{1 - (-1)}{1 - x} = \frac{2}{1 - x},
que depende somente de x. Então
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{1 - x}\,dx\Bigr) = \exp\!\bigl(-2\ln|1 - x|\bigr) = \frac{1}{(1 - x)^{2}}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
M^{*}(x,y) = \frac{y + x(1 - x)^{2}}{(1 - x)^{2}} = \frac{y}{(1 - x)^{2}} + x, \quad N^{*}(x,y) = \frac{1 - x}{(1 - x)^{2}} = \frac{1}{1 - x}.
Agora verificamos a exatidão:
\frac{\partial M^{*}}{\partial y} = \frac{1}{(1 - x)^{2}}, \quad \frac{\partial N^{*}}{\partial x} = \frac{1}{(1 - x)^{2}},
logo a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M^{*}(x,y).
Integrando em x (considerando y constante):
\psi(x,y) = \int \Bigl(\frac{y}{(1 - x)^{2}} + x\Bigr)\,dx = y\int (1 - x)^{-2}\,dx + \frac{x^{2}}{2} + h(y) = \frac{y}{1 - x} + \frac{x^{2}}{2} + h(y).
Para achar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{1}{1 - x} + h'(y) \stackrel{!}{=} N^{*}(x,y) = \frac{1}{1 - x},
daí h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 6

A solução geral implícita vem de
\psi(x,y) = \text{constante},
isto é
\frac{y}{1 - x} + \frac{x^{2}}{2} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\frac{y}{1 - x} + \frac{x^{2}}{2} = C.

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