Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
\left(y+x^{2} y^{4}\right) d x+3 x d y=0 Pat.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y + x^{2}y^{4}\bigr)\,dx + 3x\,dy = 0
e pede para encontrar sua solução geral. Trata-se de um caso de equação de Bernoulli em y(x), pois podemos escrever em forma de dy/dx + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.

Passo 2

Reescrevendo em termos de dy/dx, dividimos tudo por dx e isolamos dy/dx:
3x\,\frac{dy}{dx} = -\bigl(y + x^{2}y^{4}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} + \frac{1}{3}\,\frac{y}{x} = -\frac{1}{3}\,x\,y^{4}.

Passo 3

Reconhecemos a forma de Bernoulli
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com
P(x) = \frac{1}{3x}, \quad Q(x) = -\frac{1}{3}\,x, \quad n = 4.

Passo 4

Fazemos a substituição típica de Bernoulli:
u = y^{1-n} = y^{-3}.
Calculamos
\frac{du}{dx} = -3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx}.
Multiplicando a equação original por -3y^{-4} e usando essa relação, obtemos a equação linear em u:
\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}\,u = x.

Passo 5

Para resolver
\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}\,u = x
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\bigl(\!\int -\tfrac{1}{x}\,dx\bigr) = x^{-1}.
Multiplicando por \mu vem
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{x}\Bigr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{x} = x + C,
onde C é constante de integração. Assim
u = x^{2} + Cx.

Passo 6

Voltando à substituição u = y^{-3}, temos
y^{-3} = x^{2} + Cx,
ou, de forma explícita,
y(x) = \bigl(x^{2} + Cx\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
\boxed{y(x) = \bigl(x^{2} + Cx\bigr)^{-\tfrac{1}{3}},}
com C constante de integração.

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