Resolva as seguintes equações :
|3-2 x|+|5 x+4|=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valores absolutos
|3 - 2x| + |5x + 4| = 8
O conteúdo é resolução de equações envolvendo módulos e a técnica é dividir o domínio em intervalos onde cada expressão dentro dos módulos tem sinal conhecido (positiva ou negativa).

Passo 2

Determinamos onde cada expressão muda de sinal, isto é, onde o argumento do módulo é zero:
3 - 2x = 0 implies x = 32,
5x + 4 = 0 implies x = -45
Isso nos leva a três intervalos de análise:
x < -45, -45 <= x < 32, x >= 32

Passo 3

Para x < -45, temos 3 - 2x > 0 e 5x + 4 < 0. Logo
|3 - 2x| = 3 - 2x, |5x + 4| = -l(5x + 4r) = -5x - 4
A equação vira
(3 - 2x) + (-5x - 4) = 8
-7x - 1 = 8 implies -7x = 9 implies x = -97
Como -tfrac97 < -tfrac45, essa solução é válida neste intervalo.

Passo 4

Para -45 <= x < 32, temos 3 - 2x > 0 e 5x + 4 >= 0. Então
|3 - 2x| = 3 - 2x, |5x + 4| = 5x + 4,
e a equação fica
(3 - 2x) + (5x + 4) = 8
3x + 7 = 8 implies 3x = 1 implies x = 13
Como tfrac13 está no intervalo l[-tfrac45,tfrac32r), essa solução também vale.

Passo 5

Para x >= 32, temos 3 - 2x <= 0 e 5x + 4 > 0. Assim
|3 - 2x| = 2x - 3, |5x + 4| = 5x + 4,
e
(2x - 3) + (5x + 4) = 8
7x + 1 = 8 implies 7x = 7 implies x = 1
Porém 1 não pertence ao intervalo [,tfrac32,infty), então é rejeitado.

Resposta

As soluções da equação são dadas por
x = -97
e
x = 13

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